Номер 121, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 4bx + 3b + 1 = 0$;

2) $bx^2 - (3b + 1)x + b = 0$;

3) $(b - 1)x^2 - 2(b + 1)x - 3b + 2 = 0$;

4) $(3b - 2)x^2 - (5b + 2)x + 5b - 1 = 0?$

1) Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.
Для уравнения $x^2 - 4bx + 3b + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1, b_{коэф} = -4b, c = 3b + 1$.
Так как коэффициент $a=1 \neq 0$, уравнение всегда является квадратным.
Найдем дискриминант:
$D = (-4b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3b + 1) = 16b^2 - 12b - 4$.
Решим неравенство $D > 0$:
$16b^2 - 12b - 4 > 0$.
Разделим обе части неравенства на 4:
$4b^2 - 3b - 1 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4b^2 - 3b - 1 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.
$b_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{3 \pm 5}{8}$.
Корни: $b_1 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $b_2 = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как парабола $y = 4b^2 - 3b - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $4b^2 - 3b - 1 > 0$ выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.
Таким образом, $b < -1/4$ или $b > 1$.
Ответ: $b \in (-\infty; -1/4) \cup (1; +\infty)$.

2) Для того чтобы уравнение $bx^2 - (3b + 1)x + b = 0$ имело два различных действительных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю: $b \neq 0$.
Если $b = 0$, уравнение превращается в линейное: $-(3 \cdot 0 + 1)x + 0 = 0 \Rightarrow -x = 0$, которое имеет только один корень $x=0$. Этот случай нам не подходит.
2. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$.
$D = (-(3b + 1))^2 - 4 \cdot b \cdot b = (3b + 1)^2 - 4b^2 = (9b^2 + 6b + 1) - 4b^2 = 5b^2 + 6b + 1$.
Решим неравенство $5b^2 + 6b + 1 > 0$.
Найдем корни уравнения $5b^2 + 6b + 1 = 0$:
$b_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{-6 \pm 4}{10}$.
Корни: $b_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$ и $b_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Парабола $y = 5b^2 + 6b + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $b < -1$ или $b > -1/5$.
Объединяя это с условием $b \neq 0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $b \in (-\infty; -1) \cup (-1/5; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Для того чтобы уравнение $(b - 1)x^2 - 2(b + 1)x - 3b + 2 = 0$ имело два различных действительных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным: $b - 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq 1$.
Если $b = 1$, уравнение становится линейным: $-2(1 + 1)x - 3(1) + 2 = 0 \Rightarrow -4x - 1 = 0$, которое имеет один корень. Этот случай не подходит.
2. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, воспользуемся формулой для $D/4$:
$D/4 = (-(b + 1))^2 - (b - 1)(-3b + 2) = (b^2 + 2b + 1) - (-3b^2 + 2b + 3b - 2) = b^2 + 2b + 1 + 3b^2 - 5b + 2 = 4b^2 - 3b + 3$.
Решим неравенство $4b^2 - 3b + 3 > 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена (относительно $b$):
$D_b = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 9 - 48 = -39$.
Поскольку $D_b < 0$ и старший коэффициент $4 > 0$, квадратный трехчлен $4b^2 - 3b + 3$ положителен при всех действительных значениях $b$.
Таким образом, единственным ограничением является условие $b \neq 1$.
Ответ: $b \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4) Для того чтобы уравнение $(3b - 2)x^2 - (5b + 2)x + 5b - 1 = 0$ имело два различных действительных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным: $3b - 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq 2/3$.
Если $b = 2/3$, уравнение становится линейным: $-(5(2/3) + 2)x + 5(2/3) - 1 = 0 \Rightarrow -16/3 x + 7/3 = 0$, которое имеет один корень. Этот случай не подходит.
2. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$.
$D = (-(5b + 2))^2 - 4(3b - 2)(5b - 1) = (25b^2 + 20b + 4) - 4(15b^2 - 3b - 10b + 2) = 25b^2 + 20b + 4 - 60b^2 + 52b - 8 = -35b^2 + 72b - 4$.
Решим неравенство $-35b^2 + 72b - 4 > 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$35b^2 - 72b + 4 < 0$.
Найдем корни уравнения $35b^2 - 72b + 4 = 0$:
$D_b = (-72)^2 - 4 \cdot 35 \cdot 4 = 5184 - 560 = 4624 = 68^2$.
$b_{1,2} = \frac{72 \pm \sqrt{4624}}{2 \cdot 35} = \frac{72 \pm 68}{70}$.
Корни: $b_1 = \frac{72 - 68}{70} = \frac{4}{70} = \frac{2}{35}$ и $b_2 = \frac{72 + 68}{70} = \frac{140}{70} = 2$.
Парабола $y = 35b^2 - 72b + 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $2/35 < b < 2$.
Учитывая условие $b \neq 2/3$, мы должны исключить эту точку из найденного интервала.
Ответ: $b \in (2/35; 2/3) \cup (2/3; 2)$.