Номер 123, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. При каких значениях m не имеет решений неравенство:

1) $mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0;$

2) $(3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1 \ge 0?$

1) Неравенство $mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0$ не имеет решений, если для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное неравенство: $mx^2 + 5mx + 4m + 3 \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $m = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 5 \cdot 0 \cdot x + 4 \cdot 0 + 3 \ge 0$, то есть $3 \ge 0$. Это верное неравенство для любого $x$. Следовательно, $m=0$ является решением.
Случай 2: $m \ne 0$.
В этом случае выражение $f(x) = mx^2 + 5mx + 4m + 3$ является квадратичной функцией. Чтобы эта функция была всегда неотрицательной, ее график (парабола) должен быть расположен не ниже оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:
1. Ветви параболы направлены вверх, то есть коэффициент при $x^2$ положителен: $m > 0$.
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю (парабола не пересекает ось $x$ или касается ее в одной точке): $D \le 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (5m)^2 - 4 \cdot m \cdot (4m + 3) = 25m^2 - 16m^2 - 12m = 9m^2 - 12m$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$9m^2 - 12m \le 0$
$3m(3m - 4) \le 0$
Корни уравнения $3m(3m - 4) = 0$ равны $m_1=0$ и $m_2=4/3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $0 \le m \le 4/3$.
Теперь объединим условия для второго случая: $m > 0$ и $0 \le m \le 4/3$. Получаем $0 < m \le 4/3$.
Наконец, объединим решения из обоих случаев: $m=0$ и $0 < m \le 4/3$.
Итоговый результат: $0 \le m \le 4/3$.
Ответ: $m \in [0; 4/3]$.

2) Неравенство $(3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1 \ge 0$ не имеет решений, если для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное строгое неравенство: $(3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1 < 0$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $3m - 2 = 0$, откуда $m = 2/3$.
Подставим это значение в неравенство:
$0 \cdot x^2 - 2(2 \cdot \frac{2}{3} - 1)x + 2 \cdot \frac{2}{3} - 1 < 0$
$-2(\frac{4}{3} - 1)x + \frac{4}{3} - 1 < 0$
$-\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} < 0$
$1 < 2x$
$x > 1/2$
Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x > 1/2$. Следовательно, $m = 2/3$ не является решением.
Случай 2: $3m - 2 \ne 0$.
В этом случае выражение $g(x) = (3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1$ является квадратичной функцией. Чтобы эта функция была всегда отрицательной, ее график (парабола) должен быть расположен полностью ниже оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:
1. Ветви параболы направлены вниз, то есть коэффициент при $x^2$ отрицателен: $3m - 2 < 0 \Rightarrow m < 2/3$.
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть строго меньше нуля (парабола не пересекает ось $x$): $D < 0$.
Найдем дискриминант (удобнее использовать $D/4$):
$D/4 = (-(2m - 1))^2 - (3m - 2)(2m - 1) = (2m-1)^2 - (3m-2)(2m-1)$
$D/4 = (2m-1)( (2m-1) - (3m-2) ) = (2m-1)(2m-1-3m+2) = (2m-1)(-m+1)$
Решим неравенство $D/4 < 0$ :
$(2m-1)(1-m) < 0$
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$(2m-1)(m-1) > 0$
Корни уравнения $(2m-1)(m-1)=0$ равны $m_1=1/2$ и $m_2=1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $m < 1/2$ или $m > 1$.
Теперь необходимо найти пересечение полученных условий: $m < 2/3$ и ($m < 1/2$ или $m > 1$).
Так как $1/2 < 2/3 < 1$, пересечением будет интервал $m < 1/2$.
Ответ: $m \in (-\infty; 1/2)$.