Номер 117, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}$;

2) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x - 12x^2}}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x - 21} - \frac{6}{x^2 - 64}$;

4) $y = \frac{x - 8}{\sqrt{5 + 19x - 4x^2}} + \frac{x - 4}{3x^2 - x - 4}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$x^2 + 3x - 40 \ge 0$
Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 40 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 3x - 40$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -8] \cup [5, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -8] \cup [5, +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x - 12x^2}}$ область определения задается условием, что выражение, стоящее под корнем в знаменателе, должно быть строго положительным (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю).
Решим неравенство:
$3x - 12x^2 > 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(1 - 4x) > 0$
Найдем корни уравнения $3x(1 - 4x) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{4}$.
Выражение $3x - 12x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Следовательно, оно принимает положительные значения на интервале между корнями.
Таким образом, область определения функции: $x \in (0, \frac{1}{4})$.
Ответ: $(0, \frac{1}{4})$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 4x - 21} - \frac{6}{x^2 - 64}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.
1. Для слагаемого $\sqrt{x^2 - 4x - 21}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 4x - 21 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 10}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [7, +\infty)$.
2. Для слагаемого $\frac{6}{x^2 - 64}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 64 \ne 0$.
$x^2 \ne 64 \implies x \ne 8$ и $x \ne -8$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств. Из множества $(-\infty, -3] \cup [7, +\infty)$ нужно исключить точки $-8$ и $8$. Обе точки попадают в это множество, поэтому их необходимо исключить.
Получаем: $x \in (-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{x - 8}{\sqrt{5 + 19x - 4x^2}} + \frac{x - 4}{3x^2 - x - 4}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.
1. Для первого слагаемого выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $5 + 19x - 4x^2 > 0$.
Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак: $4x^2 - 19x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 19x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 = 21^2$.
Корни: $x_1 = \frac{19 - 21}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{19 + 21}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $4x^2 - 19x - 5 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-\frac{1}{4}, 5)$.
2. Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю: $3x^2 - x - 4 \ne 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 7}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Следовательно, $x \ne -1$ и $x \ne \frac{4}{3}$.
Найдем пересечение множеств. Из интервала $(-\frac{1}{4}, 5)$ нужно исключить точки $-1$ и $\frac{4}{3}$.
Точка $x = -1$ не принадлежит интервалу $(-\frac{1}{4}, 5)$, так как $-1 < -0.25$.
Точка $x = \frac{4}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{1}{4}, 5)$, так как $-0.25 < \frac{4}{3} < 5$. Эту точку нужно исключить.
Итоговая область определения: $x \in (-\frac{1}{4}, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 5)$.
Ответ: $(-\frac{1}{4}, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 5)$.