Номер 114, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Решите неравенство:

1) $x^2 \le 9;$

2) $x^2 > 7;$

3) $7x^2 \le 3x;$

4) $-5x^2 \ge -10x;$

5) $-3x^2 < -75;$

6) $0,6x^2 < -18x.$

Перенесем все члены неравенства $x^2 \le 9$ в левую часть:
$x^2 - 9 \le 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x - 3)(x + 3) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Поскольку мы решаем неравенство для параболы $f(x) = x^2 - 9$ с ветвями вверх, то значения $f(x) \le 0$ будут находиться между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $-3 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-3; 3]$.

Рассмотрим неравенство $x^2 > 7$.
Перенесем 7 в левую часть:
$x^2 - 7 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) > 0$
Корнями соответствующего уравнения являются $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.
Графиком функции $y = x^2 - 7$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) на промежутках левее и правее корней, не включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $x < -\sqrt{7}$ или $x > \sqrt{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}; +\infty)$.

Перенесем все члены неравенства $7x^2 \le 3x$ в левую часть:
$7x^2 - 3x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x - 3) \le 0$
Найдем корни уравнения $x(7x - 3) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $7x-3=0 \implies x_2 = 3/7$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $0 \le x \le 3/7$.
Ответ: $x \in [0; 3/7]$.

Рассмотрим неравенство $-5x^2 \ge -10x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-5x^2 + 10x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $-5$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 2x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 2) \le 0$
Корнями уравнения $x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая концы.
Следовательно, $0 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [0; 2]$.

Рассмотрим неравенство $-3x^2 < -75$.
Разделим обе части на $-3$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:
$x^2 > 25$
Перенесем 25 в левую часть:
$x^2 - 25 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 5)(x + 5) > 0$
Корни уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны на интервалах вне корней.
Следовательно, решение неравенства: $x < -5$ или $x > 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Рассмотрим неравенство $0,6x^2 < -18x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,6x^2 + 18x < 0$
Вынесем общий множитель $0,6x$ за скобки:
$0,6x(x + 30) < 0$
Найдем корни уравнения $0,6x(x + 30) = 0$. Это $x_1 = -30$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = 0,6x^2 + 18x$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент $0,6 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.
Следовательно, $-30 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-30; 0)$.