Номер 107, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. При каких значениях $a$ функция $y = (a+2)x^2 + 4x - 5$ принимает неположительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a + 2)x^2 + 4x - 5$ принимала неположительные значения (то есть $y \le 0$) при всех действительных значениях $x$, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a + 2 = 0$, то есть при $a = -2$. В этом случае функция становится линейной: $y = 4x - 5$. Графиком этой функции является прямая линия, которая не параллельна оси абсцисс. Такая функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $x=2$ значение функции $y = 4(2) - 5 = 3$, что больше нуля. Следовательно, значение $a = -2$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит, когда $a + 2 \neq 0$. В этом случае функция является квадратичной, и её график — парабола. Чтобы парабола целиком располагалась не выше оси абсцисс ($y \le 0$), должны одновременно выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным:$a + 2 < 0 \implies a < -2$.

2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью $x$ (то есть касаться её или не пересекать вовсе). Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $(a + 2)x^2 + 4x - 5 = 0$ должен быть меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (a + 2) \cdot (-5) = 16 + 20(a + 2) = 16 + 20a + 40 = 20a + 56$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:$20a + 56 \le 0$$20a \le -56$$a \le -\frac{56}{20}$$a \le -\frac{14}{5}$$a \le -2.8$.

Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы оба неравенства, полученные в этом случае, выполнялись одновременно. Составим систему:$$\begin{cases}a < -2 \\a \le -2.8\end{cases}$$Решением этой системы является пересечение множеств, что даёт $a \le -2.8$.

Объединяя результаты рассмотренных случаев, мы видим, что условие задачи выполняется только при $a \le -2.8$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2.8]$.