Номер 100, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. При каких значениях $a$ и $b$ парабола $y = ax^2 + bx - 3$ проходит через точки $A(-2; 7)$ и $B(3; -6)$?

Поскольку парабола $y = ax^2 + bx - 3$ проходит через точки A(-2; 7) и B(3; -6), координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Мы можем составить систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение.

1. Подставим координаты точки A(-2; 7) в уравнение $y = ax^2 + bx - 3$:
$7 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 3$
$7 = 4a - 2b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть:
$7 + 3 = 4a - 2b$
$10 = 4a - 2b$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:
$5 = 2a - b$

2. Подставим координаты точки B(3; -6) в уравнение $y = ax^2 + bx - 3$:
$-6 = a \cdot (3)^2 + b \cdot (3) - 3$
$-6 = 9a + 3b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть:
$-6 + 3 = 9a + 3b$
$-3 = 9a + 3b$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$-1 = 3a + b$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} 2a - b = 5 \\ 3a + b = -1 \end{cases} $
Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим первое уравнение со вторым:
$(2a - b) + (3a + b) = 5 + (-1)$
$5a = 4$
$a = \frac{4}{5}$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в любое из уравнений системы, чтобы найти $b$. Удобнее использовать второе уравнение $3a + b = -1$:
$3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) + b = -1$
$\frac{12}{5} + b = -1$
$b = -1 - \frac{12}{5}$
$b = -\frac{5}{5} - \frac{12}{5}$
$b = -\frac{17}{5}$

Таким образом, искомые значения коэффициентов равны $a = \frac{4}{5}$ и $b = -\frac{17}{5}$.

Ответ: $a = \frac{4}{5}$, $b = -\frac{17}{5}$.