Номер 96, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } x \le -4, \\ x^2 + 2x - 3, & \text{если } -4 < x < 2, \\ 5, & \text{если } x \ge 2; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le -2, \\ 2x - x^2, & \text{если } -2 < x \le 3, \\ -2, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } x \le -4 \\ x^2 + 2x - 3, & \text{если } -4 < x < 2 \\ 5, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$ рассмотрим каждый из трех интервалов отдельно.

На интервале $x \le -4$, функция задается формулой $f(x) = -2x - 3$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Поскольку мы рассматриваем только $x \le -4$, то на графике это будет луч. Для построения луча найдем координаты двух точек.
В граничной точке $x = -4$, значение функции $f(-4) = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку из этого интервала, например $x = -5$. Значение функции $f(-5) = -2(-5) - 3 = 10 - 3 = 7$. Точка $(-5, 7)$.
Таким образом, строим луч, выходящий из точки $(-4, 5)$ и проходящий через точку $(-5, 7)$.

На интервале $-4 < x < 2$, функция задается формулой $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу.
Найдем значения на границах интервала. Так как неравенства строгие, эти точки будут "выколотыми":
При $x \to -4$, $f(x) \to (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.
При $x \to 2$, $f(x) \to 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
Найдем также нули функции: $x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$. Корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Обе точки принадлежат интервалу $(-4, 2)$.
Строим дугу параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в выколотых точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$.

На интервале $x \ge 2$, функция задается формулой $f(x) = 5$. Это константа, ее график — горизонтальная прямая. Поскольку $x \ge 2$, на графике это будет луч.
Начальная точка луча: $x = 2$, $f(2) = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику.
Строим горизонтальный луч $y=5$, выходящий из точки $(2, 5)$ вправо.

Объединяя все три части, получаем график функции. В точке $x=-4$ конец первого луча $(-4, 5)$ совпадает с началом дуги параболы (выколотая точка $(-4, 5)$). В точке $x=2$ конец дуги параболы (выколотая точка $(2, 5)$) совпадает с началом второго луча $(2, 5)$. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси.
Ответ: График функции состоит из трех частей. На интервале $(-\infty, -4]$ это луч $y=-2x-3$, выходящий из точки $(-4, 5)$. На интервале $(-4, 2)$ это дуга параболы $y=x^2+2x-3$ с вершиной в точке $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. На интервале $[2, \infty)$ это горизонтальный луч $y=5$, выходящий из точки $(2, 5)$. Функция является непрерывной.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le -2 \\ 2x - x^2, & \text{если } -2 < x \le 3 \\ -2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$ рассмотрим каждый из трех интервалов отдельно.

На интервале $x \le -2$, функция задается формулой $f(x) = x + 3$. Это линейная функция, ее график — луч.
В граничной точке $x = -2$, значение функции $f(-2) = -2 + 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку, например $x = -3$. Значение функции $f(-3) = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.
Строим луч, выходящий из точки $(-2, 1)$ и проходящий через точку $(-3, 0)$.

На интервале $-2 < x \le 3$, функция задается формулой $f(x) = 2x - x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_0 = f(1) = 2(1) - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу.
Найдем значения на границах интервала:
При $x \to -2$, $f(x) \to 2(-2) - (-2)^2 = -4 - 4 = -8$. Точка $(-2, -8)$ "выколотая", так как неравенство строгое.
При $x = 3$, $f(3) = 2(3) - 3^2 = 6 - 9 = -3$. Точка $(3, -3)$ принадлежит графику.
Нули функции: $2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат интервалу $(-2, 3]$.
Строим дугу параболы с вершиной в $(1, 1)$, начинающуюся в выколотой точке $(-2, -8)$ и заканчивающуюся в точке $(3, -3)$.

На интервале $x > 3$, функция задается формулой $f(x) = -2$. Это константа, ее график — горизонтальный луч.
Начальная точка луча: при $x \to 3$, $f(x) \to -2$. Точка $(3, -2)$ "выколотая", так как неравенство строгое.
Строим горизонтальный луч $y=-2$, выходящий из выколотой точки $(3, -2)$ вправо.

Объединяя все три части, получаем график функции. В точке $x=-2$ функция имеет разрыв: $f(-2)=1$, а предел справа равен -8. В точке $x=3$ функция также имеет разрыв: $f(3)=-3$, а предел справа равен -2.
Ответ: График функции состоит из трех частей. На интервале $(-\infty, -2]$ это луч $y=x+3$, заканчивающийся в точке $(-2, 1)$. На интервале $(-2, 3]$ это дуга параболы $y=2x-x^2$ с вершиной в точке $(1, 1)$, которая начинается в выколотой точке $(-2, -8)$ и заканчивается в точке $(3, -3)$. На интервале $(3, \infty)$ это горизонтальный луч $y=-2$, начинающийся в выколотой точке $(3, -2)$. Функция имеет разрывы в точках $x=-2$ и $x=3$.