Номер 103, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Пусть D — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

2) $a < 0, D = 0, -\frac{b}{2a} > 0;$

3) $a > 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0.$

Для построения схематического графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем заданные условия для каждого случая.

Основные свойства графика (параболы) определяются параметрами $a$, $c$ и дискриминантом $D$:

• Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения с осью абсцисс (Ox): если $D > 0$, то две точки пересечения; если $D = 0$, то одна точка касания; если $D < 0$, то точек пересечения нет.
• Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$. Это точка пересечения параболы с осью ординат (Oy).
• Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Её знак определяет положение вершины относительно оси Oy.

Анализ условий:

• $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
• $D > 0$: парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
• $c > 0$: парабола пересекает ось Oy в точке выше начала координат.
• $x_v = -\frac{b}{2a} < 0$: вершина параболы находится в левой полуплоскости (слева от оси Oy).

Из того, что ветви направлены вверх, а парабола пересекает ось Ox, следует, что ордината вершины $y_v$ отрицательна (так как $y_v = -\frac{D}{4a}$ и $D > 0, a > 0$). Так как абсцисса вершины $x_v < 0$ и ордината вершины $y_v < 0$, вершина параболы находится в III координатной четверти.

Схематический график:

Ответ: Парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в III четверти. Она пересекает ось Ox в двух точках (обе с отрицательными абсциссами) и ось Oy в точке с положительной ординатой.

Анализ условий:

• $a < 0$: ветви параболы направлены вниз.
• $D = 0$: парабола касается оси Ox в одной точке. Эта точка является вершиной параболы.
• $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$: вершина параболы находится в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

Поскольку вершина лежит на оси Ox ($D=0$ означает, что $y_v = 0$) и её абсцисса $x_v > 0$, то вершина находится на положительной части оси Ox. Парабола с ветвями вниз касается оси Ox в этой точке. Точка пересечения с осью Oy ($c = y(0)$) будет иметь отрицательную ординату, так как для параболы с вершиной в $(x_v, 0)$ имеем $y=a(x-x_v)^2$. Тогда $c=y(0)=a(-x_v)^2 = ax_v^2$. Учитывая, что $a<0$ и $x_v^2>0$, получаем $c < 0$.

Схематический график:

Ответ: Парабола с ветвями вниз, вершина которой лежит на положительной полуоси Ox. Она касается оси Ox и пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой.

Анализ условий:

• $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
• $D < 0$: парабола не пересекает ось Ox.
• $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$: вершина параболы находится в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

Так как ветви направлены вверх и парабола не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Вершина параболы, являющаяся её низшей точкой, также находится выше оси Ox (ордината вершины $y_v = -\frac{D}{4a} > 0$, так как $D < 0$ и $a > 0$). С учетом того, что $x_v > 0$, вершина параболы находится в I координатной четверти. Точка пересечения с осью Oy ($c = y(0)$) будет иметь положительную ординату, поскольку вся парабола находится над осью Ox.

Схематический график:

Ответ: Парабола с ветвями вверх, полностью расположенная в верхней полуплоскости (над осью Ox). Её вершина находится в I четверти.