Номер 97, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Постройте график функции $y = x^2 + 4x - 5$, определённой на промежутке $[-4; 3]$. Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Постройте график функции $y = x^2 + 4x - 5$, определённой на промежутке $[-4; 3]$.

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Найдём координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Координаты вершины: $(-2, -9)$.

3. Найдём значения функции на концах заданного промежутка $[-4; 3]$.
При $x = -4$: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Координаты левой границы графика: $(-4, -5)$.
При $x = 3$: $y(3) = 3^2 + 4(3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16$. Координаты правой границы графика: $(3, 16)$.

4. Для большей точности построения найдём точки пересечения графика с осями координат.
Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
Точки пересечения с осью OX (при $y=0$): $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$. В заданный промежуток $[-4; 3]$ входит только корень $x=1$. Точка $(1, 0)$.

5. Составим таблицу ключевых точек для построения:

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции на заданном промежутке.

Ответ: График функции на промежутке $[-4; 3]$ является частью параболы, ограниченной точками $(-4, -5)$ и $(3, 16)$, с вершиной в точке $(-2, -9)$.

Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает функция на заданном промежутке. На графике это соответствует проекции кривой на ось OY. Для её нахождения необходимо определить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-4; 3]$.

1. Наименьшее значение функции.
Так как ветви параболы направлены вверх, её наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x_v = -2$ принадлежит промежутку $[-4; 3]$. Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно ординате вершины.
$y_{min} = y_v = -9$.

2. Наибольшее значение функции.
Наибольшее значение на отрезке для параболы достигается на одном из его концов. Сравним значения функции на концах промежутка:
$y(-4) = -5$
$y(3) = 16$
Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее значение функции равно 16.
$y_{max} = 16$.

Таким образом, функция на промежутке $[-4; 3]$ принимает все значения от $-9$ до $16$ включительно.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = [-9; 16]$.