Номер 92, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Постройте график функции $f(x) = 6x - 2x^2$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Для построения графика функции $f(x) = 6x - 2x^2$ и анализа ее свойств, сначала определим ключевые характеристики этой функции. Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Определение направления ветвей параболы.Запишем функцию в стандартном виде $f(x) = -2x^2 + 6x$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение координат вершины параболы $(x_0, y_0)$.Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{-4} = 1.5$Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$:$y_0 = f(1.5) = 6 \cdot 1.5 - 2 \cdot (1.5)^2 = 9 - 2 \cdot 2.25 = 9 - 4.5 = 4.5$Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5; 4.5)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.Пересечение с осью OY (когда $x=0$):$f(0) = 6 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$. Пересечение с осью OX (когда $f(x)=0$):$6x - 2x^2 = 0$$2x(3 - x) = 0$$x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

На основе этих данных (вершина в $(1.5; 4.5)$, ветви вниз, пересечение с осями в точках $(0;0)$ и $(3;0)$) можно построить график. Теперь, используя график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции равно ординате вершины. Поскольку ветви уходят вниз до бесконечности, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции равно $4.5$; наименьшего значения не существует.

2) область значений функции;

Область значений — это все возможные значения, которые может принимать функция. Поскольку максимальное значение функции равно $4.5$ и она убывает до минус бесконечности, область значений включает все числа от $-\infty$ до $4.5$ включительно.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 4.5]$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция возрастает на участке, где график идет вверх (слева от вершины), и убывает на участке, где график идет вниз (справа от вершины). Абсцисса вершины $x_0 = 1.5$ является точкой смены монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1.5]$ и убывает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

4) множество решений неравенства $f(x) > 0$; $f(x) \le 0$.

Неравенство $f(x) > 0$ выполняется там, где график функции находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $x=0$ и $x=3$.

Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется там, где график функции находится ниже или на оси Ox. Это происходит при значениях $x$ левее $0$ (включая $0$) и правее $3$ (включая $3$).

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; 3)$; $f(x) \le 0$ при $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.