Номер 85, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Постройте график функции $y = (x + 3)^2 - 1$. Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Сначала построим график функции $y = (x + 3)^2 - 1$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Функция представлена в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — координаты вершины параболы.

В нашем случае $y = (x - (-3))^2 - 1$, следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3; -1)$. Коэффициент при скобке равен 1 (1 > 0), значит, ветви параболы направлены вверх.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Ось симметрии параболы: $x = -3$.
• Пересечение с осью Oy (y-перехват): подставим $x = 0$.
  $y = (0 + 3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка $(0; 8)$.
• Пересечение с осью Ox (нули функции): подставим $y = 0$.
  $(x + 3)^2 - 1 = 0 \implies (x+3)^2 = 1$.
  $x+3 = 1$ или $x+3 = -1$.
  $x_1 = -2$, $x_2 = -4$. Точки $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$.
• Найдем еще одну пару симметричных точек. Возьмем $x = -1$.
  $y = (-1 + 3)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(-1; 3)$.
  Симметричная ей точка относительно оси $x=-3$ будет иметь абсциссу $x = -5$ и ту же ординату. Точка $(-5; 3)$.

Построив параболу по этим точкам (вершина $(-3; -1)$, нули $(-2; 0)$, $(-4; 0)$ и точки $(-1; 3)$, $(-5; 3)$, $(0; 8)$), мы можем ответить на вопросы.

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $y = 0$. На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Из графика и проведенных ранее вычислений видно, что это точки $x = -4$ и $x = -2$.
Ответ: -4; -2.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;
Функция принимает положительные значения ($y > 0$) там, где ее график лежит выше оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это происходит на двух интервалах: левее точки $x = -4$ и правее точки $x = -2$.
Решим неравенство $(x + 3)^2 - 1 > 0$:
$(x + 3)^2 > 1$
$|x + 3| > 1$
Это означает, что $x + 3 > 1$ или $x + 3 < -1$.
Из первого неравенства получаем $x > -2$.
Из второго неравенства получаем $x < -4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
Вершина параболы находится в точке $(-3; -1)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.
Промежуток убывания (график идет вниз): от $-\infty$ до абсциссы вершины $x = -3$.
Промежуток возрастания (график идет вверх): от абсциссы вершины $x = -3$ до $+\infty$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -3]$.

4) область значений функции.
Область значений — это все возможные значения, которые может принимать переменная $y$. Поскольку вершина параболы $(-3; -1)$ является ее самой низкой точкой (минимумом), наименьшее значение функции равно -1. Далее, при удалении от вершины, значения $y$ неограниченно возрастают.
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.