Номер 87, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 2 - \sqrt{x}$;

2) $y = -1 - \sqrt{x-1}$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = -\sqrt{x}$.

Область определения этой функции: $x \ge 0$. График является симметричным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

При $x=0$, $y = -\sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
При $x=1$, $y = -\sqrt{1} = -1$. Точка (1; -1).
При $x=4$, $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка (4; -2).
При $x=9$, $y = -\sqrt{9} = -3$. Точка (9; -3).

По этим точкам строим график функции $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в четвертой координатной четверти.

1) $y = 2 - \sqrt{x}$

Функцию можно переписать в виде $y = -\sqrt{x} + 2$. Чтобы построить график этой функции, нужно взять график базовой функции $y = -\sqrt{x}$ и выполнить параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх.

Каждая точка базового графика $(x_0; y_0)$ перейдет в точку $(x_0; y_0 + 2)$. Применим это преобразование к нашим ключевым точкам:

Точка (0; 0) переходит в точку (0; 0 + 2) = (0; 2).
Точка (1; -1) переходит в точку (1; -1 + 2) = (1; 1).
Точка (4; -2) переходит в точку (4; -2 + 2) = (4; 0).
Точка (9; -3) переходит в точку (9; -3 + 2) = (9; -1).

Соединив полученные точки плавной кривой, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt{x}$ получается путем сдвига графика $y = -\sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) $y = -1 - \sqrt{x-1}$

Перепишем функцию в виде $y = -\sqrt{x-1} - 1$. Для построения этого графика необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = -\sqrt{x}$:

1. Сдвинуть график $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование соответствует замене аргумента $x$ на $(x-1)$ и дает нам промежуточный график функции $y = -\sqrt{x-1}$.
2. Сдвинуть полученный график $y = -\sqrt{x-1}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование соответствует вычитанию 1 из всей функции.

Таким образом, каждая точка базового графика $(x_0; y_0)$ перейдет в точку $(x_0+1; y_0-1)$. Применим это к ключевым точкам:

Точка (0; 0) переходит в точку (0+1; 0-1) = (1; -1).
Точка (1; -1) переходит в точку (1+1; -1-1) = (2; -2).
Точка (4; -2) переходит в точку (4+1; -2-1) = (5; -3).
Точка (9; -3) переходит в точку (9+1; -3-1) = (10; -4).

Начало графика смещается в точку (1; -1). Область определения функции: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Ответ: График функции $y = -1 - \sqrt{x-1}$ получается путем сдвига графика $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.