Номер 86, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x - 4}$;

2) $y = \sqrt{x} - 4$;

3) $y = 3 + \sqrt{x + 1}$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

График этой функции представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной параболе $y = x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек, выбирая $x$ так, чтобы из него легко извлекался квадратный корень:

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
• При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
• При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции $y = \sqrt{x}$. Все последующие графики в задаче строятся путем геометрических преобразований (сдвигов) этого базового графика.

1) $y = \sqrt{x-4}$

Данная функция имеет вид $y = f(x-a)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $a=4$. Построение графика функции $y = f(x-a)$ сводится к параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. Поскольку $a=4 > 0$, сдвиг выполняется вправо.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-4}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переместится в точку $(x_0+4, y_0)$. Например:

• Начальная точка (0; 0) переместится в (0+4; 0) → (4; 0).
• Точка (1; 1) переместится в (1+4; 1) → (5; 1).
• Точка (4; 2) переместится в (4+4; 2) → (8; 2).

Область определения функции: $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-4}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

2) $y = \sqrt{x}-4$

Данная функция имеет вид $y = f(x)+b$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $b=-4$. Построение графика функции $y = f(x)+b$ сводится к параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц. Поскольку $b=-4 < 0$, сдвиг выполняется вниз.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x}-4$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переместится в точку $(x_0, y_0-4)$. Например:

• Начальная точка (0; 0) переместится в (0; 0-4) → (0; -4).
• Точка (1; 1) переместится в (1; 1-4) → (1; -3).
• Точка (4; 2) переместится в (4; 2-4) → (4; -2).

Область определения функции не меняется: $x \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}-4$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

3) $y = 3+\sqrt{x+1}$

Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt{x+1}+3$. Данная функция имеет вид $y = f(x-a)+b$, где $f(x)=\sqrt{x}$, $a=-1$ и $b=3$. Для построения ее графика необходимо выполнить два последовательных сдвига графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг на $a=-1$ вдоль оси Ox, что соответствует сдвигу на 1 единицу влево. Получаем график $y = \sqrt{x+1}$.
2. Сдвиг на $b=3$ вдоль оси Oy, что соответствует сдвигу на 3 единицы вверх. Получаем итоговый график $y = \sqrt{x+1}+3$.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переместится в точку $(x_0-1, y_0+3)$. Например:

• Начальная точка (0; 0) переместится в (0-1; 0+3) → (-1; 3).
• Точка (1; 1) переместится в (1-1; 1+3) → (0; 4).
• Точка (4; 2) переместится в (4-1; 2+3) → (3; 5).

Область определения функции: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Ответ: График функции $y = 3+\sqrt{x+1}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.