Номер 79, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. На рисунке 3 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = 2f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -\frac{1}{3}f(x)$.

Рис. 3

Для построения графиков заданных функций, мы будем использовать преобразования графика исходной функции $y = f(x)$. Для этого сначала определим координаты нескольких характерных точек на исходном графике:

• Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции): $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка локального максимума: $(-2, 5)$.
• Точка локального минимума: $(2, -1)$.
• Точка пересечения с осью ординат: $(0, 3)$.

1) y = 2f(x);

Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = f(x)$. Данное преобразование представляет собой растяжение графика вдоль оси ординат (оси $y$) в 2 раза от оси абсцисс. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на 2.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Точки $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ останутся на месте, так как их ординаты равны нулю ($2 \cdot 0 = 0$).
• Точка локального максимума $(-2, 5)$ перейдет в точку $(-2, 2 \cdot 5)$, то есть $(-2, 10)$.
• Точка локального минимума $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 2 \cdot (-1))$, то есть $(2, -2)$.
• Точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в точку $(0, 2 \cdot 3)$, то есть $(0, 6)$.

Соединив новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика, мы получим график функции $y = 2f(x)$.

Ответ: График функции $y = 2f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем растяжения вдоль оси $y$ в 2 раза. Нули функции остаются в точках $x=-4$ и $x=1$. Локальный максимум будет в точке $(-2, 10)$, локальный минимум — в точке $(2, -2)$, а пересечение с осью $y$ — в точке $(0, 6)$.

2) y = -f(x);

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $x$). Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а знак ординаты меняется на противоположный.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Точки $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ останутся на месте, так как их ординаты равны нулю ($-0 = 0$).
• Точка локального максимума $(-2, 5)$ перейдет в точку $(-2, -5)$, которая станет точкой локального минимума.
• Точка локального минимума $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, -(-1))$, то есть $(2, 1)$, которая станет точкой локального максимума.
• Точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в точку $(0, -3)$.

Соединив новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = -f(x)$, который является "перевернутой" версией исходного графика.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $x$. Нули функции остаются в точках $x=-4$ и $x=1$. Локальный максимум исходной функции становится локальным минимумом в точке $(-2, -5)$, локальный минимум — локальным максимумом в точке $(2, 1)$, а пересечение с осью $y$ — в точке $(0, -3)$.

3) y = $-\frac{1}{3}f(x)$.

Построение графика функции $y = -\frac{1}{3}f(x)$ включает два преобразования графика $y = f(x)$: симметричное отражение относительно оси $x$ и сжатие вдоль оси $y$ в 3 раза. Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -\frac{1}{3}y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на коэффициент $-\frac{1}{3}$.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Точки $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ останутся на месте, так как их ординаты равны нулю.
• Точка локального максимума $(-2, 5)$ перейдет в точку $(-2, -\frac{1}{3} \cdot 5)$, то есть $(-2, -\frac{5}{3})$. Эта точка будет локальным минимумом.
• Точка локального минимума $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, -\frac{1}{3} \cdot (-1))$, то есть $(2, \frac{1}{3})$. Эта точка будет локальным максимумом.
• Точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в точку $(0, -\frac{1}{3} \cdot 3)$, то есть $(0, -1)$.

Новый график будет отражен относительно оси $x$ и "сплюснут" по вертикали в 3 раза по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ путем отражения относительно оси $x$ и сжатия к оси $x$ в 3 раза. Нули функции остаются в точках $x=-4$ и $x=1$. Локальный максимум исходной функции становится локальным минимумом в точке $(-2, -\frac{5}{3})$, локальный минимум — локальным максимумом в точке $(2, \frac{1}{3})$, а пересечение с осью $y$ — в точке $(0, -1)$.