Номер 80, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2$;

2) $y = \frac{1}{4}x^2$;

3) $y = -3x^2$.

1) $y = 2x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a=2$. Графиком такой функции является парабола.
Для построения графика определим его ключевые свойства и найдем координаты нескольких точек.
- Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0, 0).
- Поскольку коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Так как $|a| = 2 > 1$, график функции будет "уже" (растянут по вертикали в 2 раза) по сравнению с графиком стандартной параболы $y = x^2$.
Теперь найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Функция является четной ($y(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
- при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
- при $x=1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$. Точка (1, 2).
- при $x=2$, $y = 2 \cdot 2^2 = 8$. Точка (2, 8).
В силу симметрии, мы также имеем точки (-1, 2) и (-2, 8).
Чтобы построить график, нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки (-2, 8), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8).

2) $y = \frac{1}{4}x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a=\frac{1}{4}$. Графиком является парабола.
- Вершина параболы находится в точке (0, 0).
- Поскольку коэффициент $a=\frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Так как $|a| = \frac{1}{4} < 1$, график функции будет "шире" (сжат по вертикали в 4 раза) по сравнению с графиком параболы $y = x^2$.
Найдем координаты нескольких точек для построения. График симметричен относительно оси OY. Удобно выбирать значения $x$, кратные 2, чтобы получать целые значения $y$.
- при $x=0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
- при $x=2$, $y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Точка (2, 1).
- при $x=4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$. Точка (4, 4).
Используя симметрию, получаем также точки (-2, 1) и (-4, 4).
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки (-4, 4), (-2, 1), (0, 0), (2, 1), (4, 4).

3) $y = -3x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a=-3$. Графиком является парабола.
- Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0, 0).
- Поскольку коэффициент $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
- Так как $|a| = 3 > 1$, график функции "уже" (растянут по вертикали в 3 раза) по сравнению с графиком $y = x^2$ и отражен относительно оси абсцисс (OX).
Найдем координаты нескольких точек. График симметричен относительно оси OY.
- при $x=0$, $y = -3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
- при $x=1$, $y = -3 \cdot 1^2 = -3$. Точка (1, -3).
- при $x=2$, $y = -3 \cdot 2^2 = -3 \cdot 4 = -12$. Точка (2, -12).
В силу симметрии, мы также имеем точки (-1, -3) и (-2, -12).
Отмечаем вычисленные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Парабола проходит через точки (-2, -12), (-1, -3), (0, 0), (1, -3), (2, -12).