Страница 18 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2$;

2) $y = \frac{1}{4}x^2$;

3) $y = -3x^2$.

1) $y = 2x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a=2$. Графиком такой функции является парабола.
Для построения графика определим его ключевые свойства и найдем координаты нескольких точек.
- Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0, 0).
- Поскольку коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Так как $|a| = 2 > 1$, график функции будет "уже" (растянут по вертикали в 2 раза) по сравнению с графиком стандартной параболы $y = x^2$.
Теперь найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Функция является четной ($y(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
- при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
- при $x=1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$. Точка (1, 2).
- при $x=2$, $y = 2 \cdot 2^2 = 8$. Точка (2, 8).
В силу симметрии, мы также имеем точки (-1, 2) и (-2, 8).
Чтобы построить график, нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки (-2, 8), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8).

2) $y = \frac{1}{4}x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a=\frac{1}{4}$. Графиком является парабола.
- Вершина параболы находится в точке (0, 0).
- Поскольку коэффициент $a=\frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Так как $|a| = \frac{1}{4} < 1$, график функции будет "шире" (сжат по вертикали в 4 раза) по сравнению с графиком параболы $y = x^2$.
Найдем координаты нескольких точек для построения. График симметричен относительно оси OY. Удобно выбирать значения $x$, кратные 2, чтобы получать целые значения $y$.
- при $x=0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
- при $x=2$, $y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Точка (2, 1).
- при $x=4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$. Точка (4, 4).
Используя симметрию, получаем также точки (-2, 1) и (-4, 4).
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки (-4, 4), (-2, 1), (0, 0), (2, 1), (4, 4).

3) $y = -3x^2$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a=-3$. Графиком является парабола.
- Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0, 0).
- Поскольку коэффициент $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
- Так как $|a| = 3 > 1$, график функции "уже" (растянут по вертикали в 3 раза) по сравнению с графиком $y = x^2$ и отражен относительно оси абсцисс (OX).
Найдем координаты нескольких точек. График симметричен относительно оси OY.
- при $x=0$, $y = -3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
- при $x=1$, $y = -3 \cdot 1^2 = -3$. Точка (1, -3).
- при $x=2$, $y = -3 \cdot 2^2 = -3 \cdot 4 = -12$. Точка (2, -12).
В силу симметрии, мы также имеем точки (-1, -3) и (-2, -12).
Отмечаем вычисленные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Парабола проходит через точки (-2, -12), (-1, -3), (0, 0), (1, -3), (2, -12).

81. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 7$;

2) $y = (x + 8)^2$;

3) $y = (x - 6)^2 + 9$?

Для нахождения координат вершины параболы используется её уравнение в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины. Мы приведём каждое из данных уравнений к этому виду.

1) $y = x^2 + 7$

Данное уравнение можно представить в стандартной вершинной форме. Для этого перепишем его как $y = 1 \cdot (x - 0)^2 + 7$.

Сравнивая полученное уравнение с общей формулой $y = a(x - h)^2 + k$, мы можем определить значения $h$ и $k$: $h = 0$ и $k = 7$.

Таким образом, координаты вершины параболы находятся в точке $(0, 7)$.

Ответ: $(0, 7)$

2) $y = (x + 8)^2$

Представим это уравнение в стандартной вершинной форме. Его можно записать как $y = 1 \cdot (x - (-8))^2 + 0$.

Сравнивая это выражение с общей формулой $y = a(x - h)^2 + k$, находим, что: $h = -8$ и $k = 0$.

Следовательно, координаты вершины параболы — $(-8, 0)$.

Ответ: $(-8, 0)$

3) $y = (x - 6)^2 + 9$

Это уравнение уже дано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Сравнивая уравнение $y = (x - 6)^2 + 9$ с общей формулой, мы можем сразу определить координаты вершины: $h = 6$ и $k = 9$.

Таким образом, вершина данной параболы находится в точке $(6, 9)$.

Ответ: $(6, 9)$

82. На рисунке 4 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) - 3$;

2) $y = f(x + 2)$;

3) $y = 4 - f(x)$.

Рис. 4

a

б

Поскольку на рисунке 4 представлены два разных графика (а и б), решение будет дано для каждого из них.

Для графика, изображенного на рисунке 4а:

1) $y = f(x) - 3;$

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика функции $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x, y - 3)$. Например, начальная точка графика $(1, 0)$ переместится в точку $(1, -3)$, а точка $(5, -2)$ — в точку $(5, -5)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 3 единицы вниз.

2) $y = f(x + 2);$

Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x - 2, y)$. Например, начальная точка графика $(1, 0)$ переместится в точку $(-1, 0)$, а точка $(5, -2)$ — в точку $(3, -2)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 2 единицы влево.

3) $y = 4 - f(x).$

Чтобы построить график функции $y = 4 - f(x)$, или $y = -f(x) + 4$, нужно выполнить два последовательных преобразования. Сначала необходимо отразить график функции $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox, в результате чего получится график функции $y = -f(x)$. Затем полученный график нужно сместить на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Например, точка $(1, 0)$ после отражения останется на месте, а после сдвига вверх переместится в точку $(1, 4)$. Точка $(5, -2)$ после отражения переместится в $(5, 2)$, а после сдвига — в $(5, 6)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сначала отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем смещается на 4 единицы вверх.

Для графика, изображенного на рисунке 4б:

1) $y = f(x) - 3;$

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота $y = 0$ сместится и станет прямой $y = -3$. Вертикальная асимптота $x = 0$ останется без изменений. Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, -2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, -4)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 3 единицы вниз. Его новой горизонтальной асимптотой будет прямая $y = -3$.

2) $y = f(x + 2);$

Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота $x = 0$ сместится и станет прямой $x = -2$. Горизонтальная асимптота $y = 0$ останется без изменений. Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(-1, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-3, -1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 2 единицы влево. Его новой вертикальной асимптотой будет прямая $x = -2$.

3) $y = 4 - f(x).$

Чтобы построить график функции $y = 4 - f(x)$, или $y = -f(x) + 4$, нужно выполнить два преобразования. Сначала отразить график функции $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox. Ветви гиперболы, находившиеся в I и III координатных четвертях, переместятся во II и IV четверти. Затем полученный график нужно сдвинуть на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота $x = 0$ останется без изменений, а горизонтальная асимптота $y = 0$ сместится и станет прямой $y = 4$. Точка $(1, 1)$ после отражения перейдет в $(1, -1)$, а после сдвига — в $(1, 3)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сначала отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем смещается на 4 единицы вверх. Его новой горизонтальной асимптотой будет прямая $y = 4$.

83. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4$;

2) $y = (x - 2)^2$;

3) $y = (x + 1)^2 + 2$.

Для построения графиков заданных функций, сначала построим базовый график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Ось симметрии параболы — ось OY ($x=0$).

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

Соединив эти точки плавной линией, мы получим параболу $y = x^2$. Все последующие графики строятся путем преобразования (сдвига) этого базового графика.

1) $y = x^2 - 4$

График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY на $c$ единиц. Если $c < 0$, сдвиг происходит вниз.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^2 - 4$, нужно график функции $y = x^2$ сдвинуть на 4 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 4 единицы вниз по оси OY.

2) $y = (x - 2)^2$

График функции вида $y = f(x - b)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OX на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вправо.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $b = 2$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = (x - 2)^2$, нужно график функции $y = x^2$ сдвинуть на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси OX.

3) $y = (x + 1)^2 + 2$

В данном случае мы имеем комбинацию двух сдвигов: горизонтального и вертикального. Функцию можно представить в виде $y = f(x - b) + c$, где $f(x) = x^2$, $b = -1$ и $c = 2$.

1. Горизонтальный сдвиг: выражение $(x + 1)$ можно записать как $(x - (-1))$. Так как $b = -1$, график $y=x^2$ сдвигается на 1 единицу влево вдоль оси OX.

2. Вертикальный сдвиг: прибавление 2 ($c = 2$) означает сдвиг графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = (x + 1)^2 + 2$, нужно график параболы $y = x^2$ сдвинуть на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^2 + 2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 1 единицу влево по оси OX и на 2 единицы вверх по оси OY.

84. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 - 5;$

2) $y = 2 - x^2;$

3) $y = -(x - 1)^2 + 1.$

Сначала построим график базовой функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для этой функции:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы $y = -x^2$. Теперь, используя этот график, построим графики для заданных функций.

1) $y = -x^2 - 5$

Чтобы построить график функции $y = -x^2 - 5$, нужно взять график функции $y = -x^2$ и сместить его на 5 единиц вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка графика $(x, y)$ переместится в точку $(x, y-5)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -5)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 5$ получается путем сдвига графика функции $y = -x^2$ на 5 единиц вниз по оси ординат.

2) $y = 2 - x^2$

Перепишем функцию в виде $y = -x^2 + 2$. Чтобы построить график этой функции, нужно взять график функции $y = -x^2$ и сместить его на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Каждая точка графика $(x, y)$ переместится в точку $(x, y+2)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 - x^2$ получается путем сдвига графика функции $y = -x^2$ на 2 единицы вверх по оси ординат.

3) $y = -(x - 1)^2 + 1$

Чтобы построить график этой функции, нужно выполнить два преобразования с графиком $y = -x^2$:
1. Сместить его на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Это соответствует преобразованию $x \rightarrow (x-1)$. Промежуточная функция будет $y = -(x-1)^2$. Ее вершина будет в точке $(1, 0)$.
2. Затем сместить полученный график на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Это соответствует добавлению $+1$.
Таким образом, каждая точка графика $(x, y)$ переместится в точку $(x+1, y+1)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 1)^2 + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = -x^2$ на 1 единицу вправо по оси абсцисс и на 1 единицу вверх по оси ординат.

85. Постройте график функции $y = (x + 3)^2 - 1$. Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Сначала построим график функции $y = (x + 3)^2 - 1$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Функция представлена в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — координаты вершины параболы.

В нашем случае $y = (x - (-3))^2 - 1$, следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3; -1)$. Коэффициент при скобке равен 1 (1 > 0), значит, ветви параболы направлены вверх.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Ось симметрии параболы: $x = -3$.
• Пересечение с осью Oy (y-перехват): подставим $x = 0$.
  $y = (0 + 3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка $(0; 8)$.
• Пересечение с осью Ox (нули функции): подставим $y = 0$.
  $(x + 3)^2 - 1 = 0 \implies (x+3)^2 = 1$.
  $x+3 = 1$ или $x+3 = -1$.
  $x_1 = -2$, $x_2 = -4$. Точки $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$.
• Найдем еще одну пару симметричных точек. Возьмем $x = -1$.
  $y = (-1 + 3)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(-1; 3)$.
  Симметричная ей точка относительно оси $x=-3$ будет иметь абсциссу $x = -5$ и ту же ординату. Точка $(-5; 3)$.

Построив параболу по этим точкам (вершина $(-3; -1)$, нули $(-2; 0)$, $(-4; 0)$ и точки $(-1; 3)$, $(-5; 3)$, $(0; 8)$), мы можем ответить на вопросы.

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $y = 0$. На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Из графика и проведенных ранее вычислений видно, что это точки $x = -4$ и $x = -2$.
Ответ: -4; -2.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;
Функция принимает положительные значения ($y > 0$) там, где ее график лежит выше оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это происходит на двух интервалах: левее точки $x = -4$ и правее точки $x = -2$.
Решим неравенство $(x + 3)^2 - 1 > 0$:
$(x + 3)^2 > 1$
$|x + 3| > 1$
Это означает, что $x + 3 > 1$ или $x + 3 < -1$.
Из первого неравенства получаем $x > -2$.
Из второго неравенства получаем $x < -4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
Вершина параболы находится в точке $(-3; -1)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.
Промежуток убывания (график идет вниз): от $-\infty$ до абсциссы вершины $x = -3$.
Промежуток возрастания (график идет вверх): от абсциссы вершины $x = -3$ до $+\infty$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -3]$.

4) область значений функции.
Область значений — это все возможные значения, которые может принимать переменная $y$. Поскольку вершина параболы $(-3; -1)$ является ее самой низкой точкой (минимумом), наименьшее значение функции равно -1. Далее, при удалении от вершины, значения $y$ неограниченно возрастают.
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.