Страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases}x^2 + x - 6 \le 0, \\x > 0;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}3x^2 - 8x - 3 > 0, \\x \le 10;\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}2x^2 + 13x - 7 \le 0, \\15 - 3x \le 0;\end{cases}$$

4) $$\begin{cases}x^2 + x - 12 \le 0, \\8 + 2x \le 0;\end{cases}$$

5) $$\begin{cases}x^2 + 6x - 40 < 0, \\x^2 + 3x - 18 \ge 0;\end{cases}$$

6) $$\begin{cases}-3x^2 + 16x + 12 < 0, \\x^2 - 11x < 0.\end{cases}$$

1)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх ($a=1 > 0$), решение неравенства находится между корнями, включая их: $x \in [-3, 2]$.

Второе неравенство системы: $x > 0$. Его решение: $x \in (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3, 2] \cap (0, +\infty)$.
Пересечением является интервал $(0, 2]$.

Ответ: $x \in (0, 2]$.

2)

Решим первое неравенство системы: $3x^2 - 8x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 3 = 0$ через дискриминант.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$x_1 = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 8x - 3$ направлены вверх ($a=3 > 0$), поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, +\infty)$.

Второе неравенство системы: $x \le 10$. Его решение: $x \in (-\infty, 10]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1/3) \cup (3, +\infty)) \cap (-\infty, 10]$.
Пересечение состоит из двух интервалов: $(-\infty, -1/3)$ и $(3, 10]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, 10]$.

3)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 + 13x - 7 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 13x - 7 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$.
$x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их: $x \in [-7, 1/2]$.

Решим второе неравенство: $15 - 3x \le 0$.
$-3x \le -15$
$x \ge 5$
Решение: $x \in [5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-7, 1/2] \cap [5, +\infty)$.
Данные интервалы не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

4)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 12 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in [-4, 3]$.

Решим второе неравенство: $8 + 2x \le 0$.
$2x \le -8$
$x \le -4$
Решение: $x \in (-\infty, -4]$.

Найдем пересечение решений: $[-4, 3] \cap (-\infty, -4]$.
Единственной общей точкой является $x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

5)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x - 40 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 40 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in (-10, 4)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 18 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -6] \cup [3, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-10, 4) \cap ((-\infty, -6] \cup [3, +\infty))$.
Пересечение состоит из объединения двух интервалов: $(-10, -6]$ и $[3, 4)$.

Ответ: $x \in (-10, -6] \cup [3, 4)$.

6)

Решим первое неравенство системы: $-3x^2 + 16x + 12 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $3x^2 - 16x - 12 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 16x - 12 = 0$.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2$.
$x_1 = \frac{16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 16x - 12$ направлены вверх ($a=3 > 0$), поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -2/3) \cup (6, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 11x < 0$.
$x(x - 11) < 0$.
Корни: $x=0$ и $x=11$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями: $x \in (0, 11)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2/3) \cup (6, +\infty)) \cap (0, 11)$.
Интервал $(-\infty, -2/3)$ не пересекается с $(0, 11)$.
Пересечение интервалов $(6, +\infty)$ и $(0, 11)$ дает $(6, 11)$.

Ответ: $x \in (6, 11)$.

119. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 < 0, \\ x \ge -3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x^2 - 5x \le 0, \\ -0,6x + 1,2 > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 14x + 45 \ge 0, \\ 3,2 \le x \le 11,7; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - (\sqrt{7} - 2)x - 2\sqrt{7} \le 0, \\ -x^2 + 4,8x + 1 \ge 0. \end{cases} $

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 5x - 6 < 0, \\ x \ge -3. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 + 5x - 6 < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а их сумма -5. Корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный (ветви параболы направлены вверх), неравенство выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $-6 < x < 1$.

Второе неравенство системы $x \ge -3$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-6, 1) \cap [-3, \infty)$. Общим решением системы является промежуток $[-3, 1)$.

Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x^2 - 5x \le 0, \\ -0.6x + 1.2 > 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $3x^2 - 5x \le 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 5) \le 0$. Корни уравнения $x(3x-5)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5/3$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их: $0 \le x \le 5/3$.

Решим второе неравенство $-0.6x + 1.2 > 0$. Перенесем 1.2 в правую часть: $-0.6x > -1.2$. Разделим обе части на -0.6, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 2$.

Найдем пересечение решений: $[0, 5/3] \cap (-\infty, 2)$. Так как $5/3 < 2$, общим решением является промежуток $[0, 5/3]$.

Найдем целые числа, принадлежащие этому промежутку. Учитывая, что $5/3 \approx 1.67$, целыми решениями являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 14x + 45 \ge 0, \\ 3.2 \le x \le 11.7. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 14x + 45 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 45 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно 45, а их сумма 14. Корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = 9$. Ветви параболы $y = x^2 - 14x + 45$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне промежутка между корнями: $x \le 5$ или $x \ge 9$.

Решение второго неравенства уже дано: $3.2 \le x \le 11.7$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty, 5] \cup [9, \infty)$ и $[3.2, 11.7]$. Пересечение состоит из двух промежутков: $[3.2, 5]$ и $[9, 11.7]$.

Найдем целые числа из этих промежутков. Из $[3.2, 5]$ получаем целые числа 4, 5. Из $[9, 11.7]$ получаем целые числа 9, 10, 11.

Ответ: 4, 5, 9, 10, 11.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - (\sqrt{7}-2)x - 2\sqrt{7} \le 0, \\ -x^2 + 4.8x + 1 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - (\sqrt{7}-2)x - 2\sqrt{7} \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - (\sqrt{7}-2)x - 2\sqrt{7} = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $\sqrt{7}-2$, а их произведение $-2\sqrt{7}$. Этим условиям удовлетворяют числа $x_1 = -2$ и $x_2 = \sqrt{7}$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $-2 \le x \le \sqrt{7}$.

Решим второе неравенство $-x^2 + 4.8x + 1 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 4.8x - 1 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4.8x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-4.8)^2 - 4(1)(-1) = 23.04 + 4 = 27.04$. Корень из дискриминанта $\sqrt{27.04} = 5.2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{4.8 - 5.2}{2} = -0.2$ и $x_2 = \frac{4.8 + 5.2}{2} = 5$. Ветви параболы $y=x^2-4.8x-1$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $-0.2 \le x \le 5$.

Найдем пересечение решений: $[-2, \sqrt{7}] \cap [-0.2, 5]$. Учитывая, что $2 < \sqrt{7} < 3$ (примерно 2.65), пересечением является промежуток $[-0.2, \sqrt{7}]$.

Найдем целые числа, принадлежащие этому промежутку. Это числа 0, 1, 2.

Ответ: 0, 1, 2.

120. Найдите, при каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + (a + 2)x + 4 = 0;$

2) $(a + 1)x^2 - 3ax + 4a = 0;$

3) $(10 - 2a)x^2 - (a - 5)x + 1 = 0;$

4) $(a + 1)x^2 - 2(a - 1)x + 3a - 3 = 0.$

1) $x^2 + (a + 2)x + 4 = 0$

Данное уравнение является квадратным при любом значении параметра a, так как коэффициент при $x^2$ равен 1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$). Найдем дискриминант: $D = (a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 + 4a + 4 - 16 = a^2 + 4a - 12$. Решим неравенство $D < 0$: $a^2 + 4a - 12 < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + 4a - 12 = 0$: $a_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$. Корни: $a_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$, $a_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$. Парабола $y = a^2 + 4a - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $a^2 + 4a - 12 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, $a \in (-6; 2)$.

Ответ: $a \in (-6; 2)$.

2) $(a + 1)x^2 - 3ax + 4a = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$. При $a = -1$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 3(-1)x + 4(-1) = 0$ $3x - 4 = 0$ $x = \frac{4}{3}$. Уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq -1$. В этом случае уравнение является квадратным. Оно не имеет корней, если дискриминант $D < 0$. $D = (-3a)^2 - 4(a+1)(4a) = 9a^2 - 16a(a+1) = 9a^2 - 16a^2 - 16a = -7a^2 - 16a$. Решим неравенство $-7a^2 - 16a < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $7a^2 + 16a > 0$ $a(7a + 16) > 0$. Корни уравнения $a(7a + 16) = 0$ равны $a_1 = 0$ и $a_2 = -\frac{16}{7}$. Парабола $y = 7a^2 + 16a$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях a вне интервала между корнями. $a \in (-\infty; -\frac{16}{7}) \cup (0; \infty)$. Условие $a \neq -1$ выполняется, так как $-1$ не входит в найденные промежутки.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{16}{7}) \cup (0; \infty)$.

3) $(10 - 2a)x^2 - (a - 5)x + 1 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $10 - 2a = 0 \Rightarrow a = 5$. При $a = 5$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - (5-5)x + 1 = 0$ $1 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=5$ уравнение не имеет корней. Значение $a=5$ является частью ответа.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 5$. Уравнение является квадратным. Оно не имеет корней, если дискриминант $D < 0$. $D = (-(a-5))^2 - 4(10-2a)(1) = (a-5)^2 - 4 \cdot 2(5-a) = (a-5)^2 + 8(a-5)$. $D = (a-5)(a-5+8) = (a-5)(a+3)$. Решим неравенство $(a-5)(a+3) < 0$. Корни уравнения $(a-5)(a+3) = 0$ равны $a_1 = -3$ и $a_2 = 5$. Парабола $y = (a-5)(a+3)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. $a \in (-3; 5)$.

Объединим результаты обоих случаев: из первого случая $a=5$, из второго $a \in (-3; 5)$. Объединение дает промежуток $a \in (-3; 5]$.

Ответ: $a \in (-3; 5]$.

4) $(a + 1)x^2 - 2(a - 1)x + 3a - 3 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$. При $a = -1$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2(-1-1)x + 3(-1) - 3 = 0$ $4x - 6 = 0$ $x = \frac{3}{2}$. Уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq -1$. Уравнение является квадратным. Коэффициент при x четный, поэтому для удобства найдем $D/4$. Уравнение не имеет корней, если $D < 0$ (что эквивалентно $D/4 < 0$). $D/4 = (-(a-1))^2 - (a+1)(3a-3) = (a-1)^2 - 3(a+1)(a-1)$. Вынесем $(a-1)$ за скобки: $D/4 = (a-1)((a-1) - 3(a+1)) = (a-1)(a-1-3a-3) = (a-1)(-2a-4) = -2(a-1)(a+2)$. Решим неравенство $D/4 < 0$: $-2(a-1)(a+2) < 0$. Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства: $(a-1)(a+2) > 0$. Корни уравнения $(a-1)(a+2) = 0$ равны $a_1 = -2$ и $a_2 = 1$. Парабола $y = (a-1)(a+2)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях a вне интервала между корнями. $a \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$. Условие $a \neq -1$ выполняется, так как $-1$ не входит в найденные промежутки.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

121. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 4bx + 3b + 1 = 0$;

2) $bx^2 - (3b + 1)x + b = 0$;

3) $(b - 1)x^2 - 2(b + 1)x - 3b + 2 = 0$;

4) $(3b - 2)x^2 - (5b + 2)x + 5b - 1 = 0?$

1) Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.
Для уравнения $x^2 - 4bx + 3b + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1, b_{коэф} = -4b, c = 3b + 1$.
Так как коэффициент $a=1 \neq 0$, уравнение всегда является квадратным.
Найдем дискриминант:
$D = (-4b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3b + 1) = 16b^2 - 12b - 4$.
Решим неравенство $D > 0$:
$16b^2 - 12b - 4 > 0$.
Разделим обе части неравенства на 4:
$4b^2 - 3b - 1 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4b^2 - 3b - 1 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.
$b_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{3 \pm 5}{8}$.
Корни: $b_1 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $b_2 = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как парабола $y = 4b^2 - 3b - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $4b^2 - 3b - 1 > 0$ выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.
Таким образом, $b < -1/4$ или $b > 1$.
Ответ: $b \in (-\infty; -1/4) \cup (1; +\infty)$.

2) Для того чтобы уравнение $bx^2 - (3b + 1)x + b = 0$ имело два различных действительных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю: $b \neq 0$.
Если $b = 0$, уравнение превращается в линейное: $-(3 \cdot 0 + 1)x + 0 = 0 \Rightarrow -x = 0$, которое имеет только один корень $x=0$. Этот случай нам не подходит.
2. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$.
$D = (-(3b + 1))^2 - 4 \cdot b \cdot b = (3b + 1)^2 - 4b^2 = (9b^2 + 6b + 1) - 4b^2 = 5b^2 + 6b + 1$.
Решим неравенство $5b^2 + 6b + 1 > 0$.
Найдем корни уравнения $5b^2 + 6b + 1 = 0$:
$b_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{-6 \pm 4}{10}$.
Корни: $b_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$ и $b_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Парабола $y = 5b^2 + 6b + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $b < -1$ или $b > -1/5$.
Объединяя это с условием $b \neq 0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $b \in (-\infty; -1) \cup (-1/5; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Для того чтобы уравнение $(b - 1)x^2 - 2(b + 1)x - 3b + 2 = 0$ имело два различных действительных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным: $b - 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq 1$.
Если $b = 1$, уравнение становится линейным: $-2(1 + 1)x - 3(1) + 2 = 0 \Rightarrow -4x - 1 = 0$, которое имеет один корень. Этот случай не подходит.
2. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, воспользуемся формулой для $D/4$:
$D/4 = (-(b + 1))^2 - (b - 1)(-3b + 2) = (b^2 + 2b + 1) - (-3b^2 + 2b + 3b - 2) = b^2 + 2b + 1 + 3b^2 - 5b + 2 = 4b^2 - 3b + 3$.
Решим неравенство $4b^2 - 3b + 3 > 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена (относительно $b$):
$D_b = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 9 - 48 = -39$.
Поскольку $D_b < 0$ и старший коэффициент $4 > 0$, квадратный трехчлен $4b^2 - 3b + 3$ положителен при всех действительных значениях $b$.
Таким образом, единственным ограничением является условие $b \neq 1$.
Ответ: $b \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4) Для того чтобы уравнение $(3b - 2)x^2 - (5b + 2)x + 5b - 1 = 0$ имело два различных действительных корня, необходимо выполнение двух условий:
1. Уравнение должно быть квадратным: $3b - 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq 2/3$.
Если $b = 2/3$, уравнение становится линейным: $-(5(2/3) + 2)x + 5(2/3) - 1 = 0 \Rightarrow -16/3 x + 7/3 = 0$, которое имеет один корень. Этот случай не подходит.
2. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$.
$D = (-(5b + 2))^2 - 4(3b - 2)(5b - 1) = (25b^2 + 20b + 4) - 4(15b^2 - 3b - 10b + 2) = 25b^2 + 20b + 4 - 60b^2 + 52b - 8 = -35b^2 + 72b - 4$.
Решим неравенство $-35b^2 + 72b - 4 > 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$35b^2 - 72b + 4 < 0$.
Найдем корни уравнения $35b^2 - 72b + 4 = 0$:
$D_b = (-72)^2 - 4 \cdot 35 \cdot 4 = 5184 - 560 = 4624 = 68^2$.
$b_{1,2} = \frac{72 \pm \sqrt{4624}}{2 \cdot 35} = \frac{72 \pm 68}{70}$.
Корни: $b_1 = \frac{72 - 68}{70} = \frac{4}{70} = \frac{2}{35}$ и $b_2 = \frac{72 + 68}{70} = \frac{140}{70} = 2$.
Парабола $y = 35b^2 - 72b + 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $2/35 < b < 2$.
Учитывая условие $b \neq 2/3$, мы должны исключить эту точку из найденного интервала.
Ответ: $b \in (2/35; 2/3) \cup (2/3; 2)$.

122. Найдите значения $a$, при которых выполняется при всех действительных значениях $x$ неравенство:

1) $x^2 + 2(a-1)x + 4 - a - a^2 > 0;$

2) $-\frac{1}{3}x^2 + 3ax - 6a^2 - 12 \le 0;$

3) $ax^2 - 4x + a + 3 < 0;$

4) $(9 - a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \ge 0.$

1) $x^2 + 2(a - 1)x + 4 - a - a^2 > 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 + 2(a - 1)x + 4 - a - a^2$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы неравенство $y > 0$ выполнялось при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы парабола полностью располагалась выше оси абсцисс. Это условие выполняется, если у квадратного трехчлена нет действительных корней, то есть его дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант. Удобнее использовать "приведенный" дискриминант $D/4$ для уравнения с четным вторым коэффициентом: $D/4 = (a - 1)^2 - 1 \cdot (4 - a - a^2) = (a^2 - 2a + 1) - 4 + a + a^2 = 2a^2 - a - 3.$

Теперь решим неравенство $D/4 < 0$: $2a^2 - a - 3 < 0.$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2a^2 - a - 3 = 0$: $a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}.$ Корни: $a_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $a_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}.$

Парабола $y = 2a^2 - a - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2a^2 - a - 3 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, $-1 < a < \frac{3}{2}.$

Ответ: $a \in (-1; \frac{3}{2})$.

2) $-\frac{1}{3}x^2 + 3ax - 6a^2 - 12 \le 0$

Это квадратное неравенство относительно $x$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, что меньше нуля. Следовательно, ветви параболы $y = -\frac{1}{3}x^2 + 3ax - 6a^2 - 12$ направлены вниз. Для выполнения неравенства $y \le 0$ при всех действительных $x$ необходимо, чтобы парабола полностью располагалась ниже или касалась оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен должен иметь не более одного действительного корня, то есть его дискриминант $D$ должен быть меньше либо равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант: $D = (3a)^2 - 4(-\frac{1}{3})(-6a^2 - 12) = 9a^2 + \frac{4}{3}(-6a^2 - 12) = 9a^2 - 8a^2 - 16 = a^2 - 16.$

Решим неравенство $D \le 0$: $a^2 - 16 \le 0$ $(a - 4)(a + 4) \le 0.$ Корни уравнения $(a-4)(a+4)=0$ равны $a_1 = -4$ и $a_2 = 4$. Парабола $y = a^2-16$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая сами корни. Следовательно, $-4 \le a \le 4.$

Ответ: $a \in [-4; 4]$.

3) $ax^2 - 4x + a + 3 < 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$. Неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 4x + 0 + 3 < 0$, то есть $-4x + 3 < 0$. Решая это линейное неравенство, получаем $4x > 3$, или $x > \frac{3}{4}$. Это неравенство выполняется не для всех действительных $x$, поэтому $a = 0$ не является решением.

Случай 2: $a \neq 0$. В этом случае неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, график функции $y = ax^2 - 4x + a + 3$ (парабола) должен полностью лежать ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий: 1. Ветви параболы должны быть направлены вниз: $a < 0$. 2. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Найдем $D/4$: $D/4 = (-2)^2 - a(a + 3) = 4 - a^2 - 3a = -a^2 - 3a + 4.$ Решим неравенство $D/4 < 0$: $-a^2 - 3a + 4 < 0.$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $a^2 + 3a - 4 > 0.$ Найдем корни уравнения $a^2 + 3a - 4 = 0$ по теореме Виета: $a_1 = 1$, $a_2 = -4$. Парабола $y=a^2+3a-4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $a < -4$ или $a > 1$.

Теперь объединим полученные условия в систему: $\begin{cases} a < 0 \\ a < -4 \text{ или } a > 1 \end{cases}$ Решением системы является $a < -4$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.

4) $(9 - a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \ge 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $9 - a^2 = 0 \Rightarrow a = 3$ или $a = -3$. При $a = 3$: $(9 - 9)x^2 + 2(3 + 3)x + 1 \ge 0 \Rightarrow 12x + 1 \ge 0$. Это неравенство выполняется не для всех $x$. При $a = -3$: $(9 - 9)x^2 + 2(-3 + 3)x + 1 \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 0$. Это неравенство верно для всех действительных $x$. Значит, $a = -3$ является решением.

Случай 2: $9 - a^2 \neq 0$. Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, парабола $y = (9 - a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1$ должна располагаться выше или касаться оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий: 1. Ветви параболы должны быть направлены вверх: $9 - a^2 > 0$. 2. Дискриминант должен быть меньше либо равен нулю: $D \le 0$.

Решим первое условие: $9 - a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < 9 \Rightarrow -3 < a < 3$.

Найдем $D/4$ и решим второе условие: $D/4 = (a + 3)^2 - (9 - a^2) \cdot 1 = a^2 + 6a + 9 - 9 + a^2 = 2a^2 + 6a.$ Решим неравенство $D/4 \le 0$: $2a^2 + 6a \le 0$ $2a(a + 3) \le 0.$ Корни уравнения $2a(a+3)=0$ равны $a_1=0$ и $a_2=-3$. Парабола $y=2a^2+6a$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их: $-3 \le a \le 0$.

Найдем пересечение решений для случая 2: $\begin{cases} -3 < a < 3 \\ -3 \le a \le 0 \end{cases}$ Общим решением является интервал $-3 < a \le 0$.

Объединим результаты обоих случаев: решение из случая 1 ($a = -3$) и решение из случая 2 ($-3 < a \le 0$). В результате получаем $-3 \le a \le 0$.

Ответ: $a \in [-3; 0]$.

123. При каких значениях m не имеет решений неравенство:

1) $mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0;$

2) $(3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1 \ge 0?$

1) Неравенство $mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0$ не имеет решений, если для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное неравенство: $mx^2 + 5mx + 4m + 3 \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $m = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 5 \cdot 0 \cdot x + 4 \cdot 0 + 3 \ge 0$, то есть $3 \ge 0$. Это верное неравенство для любого $x$. Следовательно, $m=0$ является решением.
Случай 2: $m \ne 0$.
В этом случае выражение $f(x) = mx^2 + 5mx + 4m + 3$ является квадратичной функцией. Чтобы эта функция была всегда неотрицательной, ее график (парабола) должен быть расположен не ниже оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:
1. Ветви параболы направлены вверх, то есть коэффициент при $x^2$ положителен: $m > 0$.
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю (парабола не пересекает ось $x$ или касается ее в одной точке): $D \le 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (5m)^2 - 4 \cdot m \cdot (4m + 3) = 25m^2 - 16m^2 - 12m = 9m^2 - 12m$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$9m^2 - 12m \le 0$
$3m(3m - 4) \le 0$
Корни уравнения $3m(3m - 4) = 0$ равны $m_1=0$ и $m_2=4/3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $0 \le m \le 4/3$.
Теперь объединим условия для второго случая: $m > 0$ и $0 \le m \le 4/3$. Получаем $0 < m \le 4/3$.
Наконец, объединим решения из обоих случаев: $m=0$ и $0 < m \le 4/3$.
Итоговый результат: $0 \le m \le 4/3$.
Ответ: $m \in [0; 4/3]$.

2) Неравенство $(3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1 \ge 0$ не имеет решений, если для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное строгое неравенство: $(3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1 < 0$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $3m - 2 = 0$, откуда $m = 2/3$.
Подставим это значение в неравенство:
$0 \cdot x^2 - 2(2 \cdot \frac{2}{3} - 1)x + 2 \cdot \frac{2}{3} - 1 < 0$
$-2(\frac{4}{3} - 1)x + \frac{4}{3} - 1 < 0$
$-\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} < 0$
$1 < 2x$
$x > 1/2$
Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x > 1/2$. Следовательно, $m = 2/3$ не является решением.
Случай 2: $3m - 2 \ne 0$.
В этом случае выражение $g(x) = (3m - 2)x^2 - 2(2m - 1)x + 2m - 1$ является квадратичной функцией. Чтобы эта функция была всегда отрицательной, ее график (парабола) должен быть расположен полностью ниже оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:
1. Ветви параболы направлены вниз, то есть коэффициент при $x^2$ отрицателен: $3m - 2 < 0 \Rightarrow m < 2/3$.
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть строго меньше нуля (парабола не пересекает ось $x$): $D < 0$.
Найдем дискриминант (удобнее использовать $D/4$):
$D/4 = (-(2m - 1))^2 - (3m - 2)(2m - 1) = (2m-1)^2 - (3m-2)(2m-1)$
$D/4 = (2m-1)( (2m-1) - (3m-2) ) = (2m-1)(2m-1-3m+2) = (2m-1)(-m+1)$
Решим неравенство $D/4 < 0$ :
$(2m-1)(1-m) < 0$
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$(2m-1)(m-1) > 0$
Корни уравнения $(2m-1)(m-1)=0$ равны $m_1=1/2$ и $m_2=1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $m < 1/2$ или $m > 1$.
Теперь необходимо найти пересечение полученных условий: $m < 2/3$ и ($m < 1/2$ или $m > 1$).
Так как $1/2 < 2/3 < 1$, пересечением будет интервал $m < 1/2$.
Ответ: $m \in (-\infty; 1/2)$.