Страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 15; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 7, \\ x^2 + xy + 8y^2 = 14. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 15. \end{cases} $$

Первое уравнение системы является однородным. Решим его, разложив левую часть на множители. Рассмотрим выражение $x^2 - 5xy + 6y^2$ как квадратный трехчлен относительно $x$.

Найдем его корни по формуле для квадратного уравнения:

$$ x = \frac{5y \pm \sqrt{(-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6y^2}}{2} = \frac{5y \pm \sqrt{25y^2 - 24y^2}}{2} = \frac{5y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{5y \pm y}{2} $$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = \frac{5y+y}{2} = 3y$ и $x_2 = \frac{5y-y}{2} = 2y$.

Таким образом, первое уравнение можно записать в виде $(x-3y)(x-2y)=0$. Это означает, что либо $x-3y=0$ (т.е. $x=3y$), либо $x-2y=0$ (т.е. $x=2y$).

Рассмотрим два случая, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы $3x^2 + 2xy - y^2 = 15$.

Случай 1: $x = 2y$

Подставляем $x=2y$ во второе уравнение:

$$ 3(2y)^2 + 2(2y)y - y^2 = 15 $$

$$ 3(4y^2) + 4y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 12y^2 + 4y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 15y^2 = 15 $$

$$ y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1 $$

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2y_1 = 2(1) = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2y_2 = 2(-1) = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Случай 2: $x = 3y$

Подставляем $x=3y$ во второе уравнение:

$$ 3(3y)^2 + 2(3y)y - y^2 = 15 $$

$$ 3(9y^2) + 6y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 27y^2 + 6y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 32y^2 = 15 $$

$$ y^2 = \frac{15}{32} \implies y_3 = \sqrt{\frac{15}{32}} = \frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{8}, \quad y_4 = -\frac{\sqrt{30}}{8} $$

Если $y_3 = \frac{\sqrt{30}}{8}$, то $x_3 = 3y_3 = \frac{3\sqrt{30}}{8}$. Получаем решение $(\frac{3\sqrt{30}}{8}, \frac{\sqrt{30}}{8})$.

Если $y_4 = -\frac{\sqrt{30}}{8}$, то $x_4 = 3y_4 = -\frac{3\sqrt{30}}{8}$. Получаем решение $(-\frac{3\sqrt{30}}{8}, -\frac{\sqrt{30}}{8})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{3\sqrt{30}}{8}, \frac{\sqrt{30}}{8})$, $(-\frac{3\sqrt{30}}{8}, -\frac{\sqrt{30}}{8})$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 7, \\ x^2 + xy + 8y^2 = 14. \end{cases} $$

Оба уравнения системы являются однородными. Чтобы решить такую систему, можно избавиться от свободных членов. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, чтобы правые части уравнений стали равны:

$$ 2(3x^2 - 2xy - y^2) = 2 \cdot 7 $$

$$ 6x^2 - 4xy - 2y^2 = 14 $$

Теперь мы можем приравнять левые части полученного уравнения и второго уравнения исходной системы, так как их правые части равны 14:

$$ 6x^2 - 4xy - 2y^2 = x^2 + xy + 8y^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение, равное нулю:

$$ 5x^2 - 5xy - 10y^2 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$ x^2 - xy - 2y^2 = 0 $$

Разложим левую часть на множители: $(x-2y)(x+y)=0$.

Отсюда следует, что либо $x-2y=0$ (т.е. $x=2y$), либо $x+y=0$ (т.е. $x=-y$).

Рассмотрим два случая, подставляя полученные соотношения в одно из исходных уравнений, например, во второе: $x^2 + xy + 8y^2 = 14$.

Случай 1: $x = 2y$

Подставляем $x=2y$ в уравнение $x^2 + xy + 8y^2 = 14$:

$$ (2y)^2 + (2y)y + 8y^2 = 14 $$

$$ 4y^2 + 2y^2 + 8y^2 = 14 $$

$$ 14y^2 = 14 $$

$$ y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1 $$

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2y_1 = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2y_2 = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Случай 2: $x = -y$

Подставляем $x=-y$ в уравнение $x^2 + xy + 8y^2 = 14$:

$$ (-y)^2 + (-y)y + 8y^2 = 14 $$

$$ y^2 - y^2 + 8y^2 = 14 $$

$$ 8y^2 = 14 $$

$$ y^2 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \implies y_3 = \frac{\sqrt{7}}{2}, y_4 = -\frac{\sqrt{7}}{2} $$

Если $y_3 = \frac{\sqrt{7}}{2}$, то $x_3 = -y_3 = -\frac{\sqrt{7}}{2}$. Получаем решение $(-\frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2})$.

Если $y_4 = -\frac{\sqrt{7}}{2}$, то $x_4 = -y_4 = \frac{\sqrt{7}}{2}$. Получаем решение $(\frac{\sqrt{7}}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(-\frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2})$, $(\frac{\sqrt{7}}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})$.

134. Сколько решений в зависимости от значения $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 1, \\y = x + a;\end{cases}$

2) $\begin{cases}x^2 + y^2 = a^2, \\|x| = 3?\end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = x + a \end{cases} $
Для нахождения количества решений подставим второе уравнение в первое:
$x^2 + (x + a)^2 = 1$
$x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 1$
$2x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество решений этого уравнения (и, соответственно, исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$.
Для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае $A=2$, $B=2a$, $C=a^2 - 1$.
$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 8(a^2 - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = 8 - 4a^2$.

Исследуем количество решений в зависимости от знака дискриминанта:
1. Система не имеет решений, если $D < 0$.
$8 - 4a^2 < 0$
$8 < 4a^2$
$a^2 > 2$
Это неравенство выполняется при $a < -\sqrt{2}$ или $a > \sqrt{2}$.

2. Система имеет одно решение, если $D = 0$.
$8 - 4a^2 = 0$
$4a^2 = 8$
$a^2 = 2$
Это равенство выполняется при $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$.

3. Система имеет два решения, если $D > 0$.
$8 - 4a^2 > 0$
$8 > 4a^2$
$a^2 < 2$
Это неравенство выполняется при $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$.

Ответ:
- при $|a| > \sqrt{2}$ (т.е. $a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$) — решений нет;
- при $|a| = \sqrt{2}$ (т.е. $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$) — одно решение;
- при $|a| < \sqrt{2}$ (т.е. $a \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$) — два решения.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |x| = 3 \end{cases} $
Второе уравнение $|x|=3$ равносильно совокупности двух уравнений: $x=3$ или $x=-3$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.
Случай 1: $x=3$
Подставим это значение в первое уравнение:
$3^2 + y^2 = a^2$
$9 + y^2 = a^2$
$y^2 = a^2 - 9$
Количество решений для $y$ зависит от значения выражения $a^2 - 9$:
- Если $a^2 - 9 > 0$ (т.е. $a^2 > 9$, или $|a| > 3$), уравнение имеет два решения: $y = \pm\sqrt{a^2 - 9}$.
- Если $a^2 - 9 = 0$ (т.е. $a^2 = 9$, или $|a| = 3$), уравнение имеет одно решение: $y = 0$.
- Если $a^2 - 9 < 0$ (т.е. $a^2 < 9$, или $|a| < 3$), уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $x=-3$
Подставим это значение в первое уравнение:
$(-3)^2 + y^2 = a^2$
$9 + y^2 = a^2$
$y^2 = a^2 - 9$
Это то же самое уравнение для $y$, что и в первом случае, и количество решений для $y$ будет таким же.

Теперь объединим результаты для определения общего числа решений системы:
- Если $|a| < 3$, то ни в первом, ни во втором случае решений для $y$ нет. Следовательно, система не имеет решений.
- Если $|a| = 3$, то в первом случае ($x=3$) есть одно решение $y=0$, что дает точку $(3, 0)$. Во втором случае ($x=-3$) также есть одно решение $y=0$, что дает точку $(-3, 0)$. Всего система имеет два решения.
- Если $|a| > 3$, то в первом случае ($x=3$) есть два решения для $y$, что дает две точки $(3, \sqrt{a^2-9})$ и $(3, -\sqrt{a^2-9})$. Во втором случае ($x=-3$) также есть два решения для $y$, что дает еще две точки $(-3, \sqrt{a^2-9})$ и $(-3, -\sqrt{a^2-9})$. Всего система имеет четыре решения.

Ответ:
- при $|a| < 3$ (т.е. $a \in (-3; 3)$) — решений нет;
- при $|a| = 3$ (т.е. $a=3$ или $a=-3$) — два решения;
- при $|a| > 3$ (т.е. $a \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$) — четыре решения.

135. Токарь планировал за определённое время изготовить 105 деталей. Однако он выполнил это задание на 2 дня раньше срока, так как изготавливал ежедневно на 14 деталей больше, чем планировал. Сколько деталей в день он изготавливал?

Пусть $x$ — это количество деталей, которое токарь планировал изготавливать ежедневно. Тогда фактически он изготавливал $(x + 14)$ деталей в день.

Время, которое токарь планировал потратить на изготовление 105 деталей, составляет $\frac{105}{x}$ дней.

Фактическое время, затраченное на работу, составило $\frac{105}{x + 14}$ дней.

Согласно условию, токарь выполнил задание на 2 дня раньше срока. Это значит, что плановое время больше фактического на 2 дня. Составим и решим уравнение:

$\frac{105}{x} - \frac{105}{x + 14} = 2$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x + 14)$:

$\frac{105(x + 14) - 105x}{x(x + 14)} = 2$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{105x + 1470 - 105x}{x^2 + 14x} = 2$

$\frac{1470}{x^2 + 14x} = 2$

Так как по смыслу задачи $x > 0$, то $x^2 + 14x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x^2 + 14x$:

$1470 = 2(x^2 + 14x)$

Разделим обе части на 2:

$735 = x^2 + 14x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 14x - 735 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-735) = 196 + 2940 = 3136$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{3136}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 56}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{3136}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 56}{2} = \frac{-70}{2} = -35$

Корень $x_2 = -35$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество деталей не может быть отрицательным. Значит, токарь планировал изготавливать 21 деталь в день.

Вопрос задачи — сколько деталей в день он изготавливал фактически. Для этого к плановому значению прибавим 14:

$21 + 14 = 35$ (деталей).

Ответ: 35 деталей.

136. Два туриста вышли одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу и после встречи каждый продолжил движение в первоначальном направлении. Один из них, скорость которого на 3 км/ч больше скорости другого, прибыл в город $A$ через 2 ч после встречи, а другой в город $B$ — через 4 ч 30 мин после встречи. Найдите скорость каждого туриста. Через какое время после начала движения состоялась их встреча?

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость туриста, вышедшего из города А (назовем его первым), а $v_2$ (км/ч) — скорость туриста, вышедшего из города В (назовем его вторым). Пусть $t$ (ч) — время от начала движения до их встречи в точке C.

До встречи первый турист прошел расстояние $AC = v_1 \cdot t$, а второй — расстояние $BC = v_2 \cdot t$.

После встречи первый турист прошел оставшееся расстояние $BC$ за $t_1 = 4$ ч 30 мин $= 4.5$ ч. Таким образом, $BC = v_1 \cdot 4.5$.

Второй турист после встречи прошел оставшееся расстояние $AC$ за $t_2 = 2$ ч. Таким образом, $AC = v_2 \cdot 2$.

Из условия известно, что скорость одного туриста на 3 км/ч больше скорости другого. Турист, прибывший в город А, — это тот, кто вышел из города В (второй турист). Он затратил на оставшийся путь 2 часа. Первый турист затратил 4.5 часа. Так как второй турист потратил меньше времени на преодоление пути $AC$, который первый турист шел до встречи, его скорость выше. Следовательно, $v_2 = v_1 + 3$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для расстояний $AC$ и $BC$:

1) $v_1 \cdot t = v_2 \cdot 2$

2) $v_2 \cdot t = v_1 \cdot 4.5$

Выразим $t$ из первого уравнения: $t = \frac{2v_2}{v_1}$.

Подставим это выражение для $t$ во второе уравнение:

$v_2 \cdot (\frac{2v_2}{v_1}) = 4.5v_1$

$\frac{2v_2^2}{v_1} = 4.5v_1$

$2v_2^2 = 4.5v_1^2$

Теперь подставим в это уравнение известное соотношение скоростей $v_2 = v_1 + 3$:

$2(v_1 + 3)^2 = 4.5v_1^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2(v_1^2 + 6v_1 + 9) = 4.5v_1^2$

$2v_1^2 + 12v_1 + 18 = 4.5v_1^2$

$2.5v_1^2 - 12v_1 - 18 = 0$

Для удобства умножим уравнение на 2:

$5v_1^2 - 24v_1 - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-36) = 576 + 720 = 1296$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Находим корни:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm 36}{2 \cdot 5} = \frac{24 \pm 36}{10}$

Первый корень $v_{1,1} = \frac{24 + 36}{10} = \frac{60}{10} = 6$.

Второй корень $v_{1,2} = \frac{24 - 36}{10} = -1.2$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = 6$ км/ч.

Скорость второго туриста: $v_2 = v_1 + 3 = 6 + 3 = 9$ км/ч.

Ответ: Скорость одного туриста 6 км/ч, а другого — 9 км/ч.

Для нахождения времени до встречи $t$ воспользуемся ранее выведенной формулой $t = \frac{2v_2}{v_1}$. Подставим в нее найденные значения скоростей $v_1=6$ км/ч и $v_2=9$ км/ч:

$t = \frac{2 \cdot 9}{6} = \frac{18}{6} = 3$ часа.

Ответ: Встреча состоялась через 3 часа после начала движения.

137. Из города в село, расстояние между которыми равно 45 км, выехали одновременно грузовик и велосипедист. Грузовик приехал в село на 2 ч раньше, чем велосипедист. Найдите скорость движения велосипедиста, если за 2 ч грузовик проезжает на 60 км больше, чем велосипедист за это же время.

Пусть $v_в$ км/ч — скорость велосипедиста, а $v_г$ км/ч — скорость грузовика. Расстояние $S$ между городом и селом составляет 45 км.

Из условия известно, что за 2 часа грузовик проезжает на 60 км больше, чем велосипедист за то же время. Составим уравнение на основе этих данных:

$2 \cdot v_г - 2 \cdot v_в = 60$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти разницу в скоростях:

$v_г - v_в = 30$

Отсюда можно выразить скорость грузовика через скорость велосипедиста:

$v_г = v_в + 30$

Время, которое затратил велосипедист на весь путь, равно $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{45}{v_в}$ часов.

Время, которое затратил грузовик на весь путь, равно $t_г = \frac{S}{v_г} = \frac{45}{v_г}$ часов.

По условию, грузовик приехал на 2 часа раньше, чем велосипедист. Это означает, что время в пути велосипедиста на 2 часа больше времени грузовика:

$t_в - t_г = 2$

Подставим в это уравнение выражения для времени:

$\frac{45}{v_в} - \frac{45}{v_г} = 2$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $v_г$:

$\frac{45}{v_в} - \frac{45}{v_в + 30} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_в(v_в + 30)$:

$\frac{45(v_в + 30) - 45v_в}{v_в(v_в + 30)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{45v_в + 1350 - 45v_в}{v_в^2 + 30v_в} = 2$

$\frac{1350}{v_в^2 + 30v_в} = 2$

Умножим обе части на знаменатель $v_в^2 + 30v_в$, при условии, что он не равен нулю (скорость не может быть равна 0 или -30 км/ч, что соответствует условиям задачи):

$1350 = 2(v_в^2 + 30v_в)$

$1350 = 2v_в^2 + 60v_в$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$2v_в^2 + 60v_в - 1350 = 0 \quad | :2$

$v_в^2 + 30v_в - 675 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600$

Найдем корни уравнения:

$v_{в1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 + 60}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$v_{в2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 - 60}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, второй корень $v_{в2} = -45$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста составляет 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

138. Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения за 6 ч. Этот катер проходит 44 км по течению на 3 ч быстрее, чем 90 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть $v_c$ км/ч — собственная скорость катера, а $v_r$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_c + v_r)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(v_c - v_r)$ км/ч.

Согласно первому условию, катер проходит 66 км по течению и 54 км против течения за 6 часов. Время в пути равно отношению расстояния к скорости, поэтому мы можем составить первое уравнение: $$ \frac{66}{v_c + v_r} + \frac{54}{v_c - v_r} = 6 $$

Согласно второму условию, катер проходит 44 км по течению на 3 часа быстрее, чем 90 км против течения. Это означает, что разница во времени (время против течения минус время по течению) составляет 3 часа. Составим второе уравнение: $$ \frac{90}{v_c - v_r} - \frac{44}{v_c + v_r} = 3 $$

Мы получили систему из двух уравнений. Для упрощения решения введем новые переменные: пусть $x = v_c + v_r$ (скорость по течению) и $y = v_c - v_r$ (скорость против течения), где $x > 0$ и $y > 0$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} \frac{66}{x} + \frac{54}{y} = 6 \\ \frac{90}{y} - \frac{44}{x} = 3 \end{cases} $$

Разделим обе части первого уравнения на 6: $$ \frac{11}{x} + \frac{9}{y} = 1 $$ Умножим это уравнение на 4, чтобы в дальнейшем применить метод сложения для исключения переменной $x$: $$ 4 \left( \frac{11}{x} + \frac{9}{y} \right) = 4 \cdot 1 \implies \frac{44}{x} + \frac{36}{y} = 4 $$ Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы: $$ \left( \frac{44}{x} + \frac{36}{y} \right) + \left( \frac{90}{y} - \frac{44}{x} \right) = 4 + 3 $$ $$ \frac{36}{y} + \frac{90}{y} = 7 $$ $$ \frac{126}{y} = 7 $$ $$ y = \frac{126}{7} = 18 $$

Подставим найденное значение $y = 18$ в уравнение $\frac{11}{x} + \frac{9}{y} = 1$: $$ \frac{11}{x} + \frac{9}{18} = 1 $$ $$ \frac{11}{x} + \frac{1}{2} = 1 $$ $$ \frac{11}{x} = 1 - \frac{1}{2} $$ $$ \frac{11}{x} = \frac{1}{2} $$ $$ x = 22 $$

Теперь, зная скорость по течению ($x = 22$ км/ч) и скорость против течения ($y = 18$ км/ч), вернемся к исходным переменным, чтобы найти собственную скорость катера ($v_c$) и скорость течения ($v_r$): $$ \begin{cases} v_c + v_r = 22 \\ v_c - v_r = 18 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $$ (v_c + v_r) + (v_c - v_r) = 22 + 18 $$ $$ 2v_c = 40 $$ $$ v_c = 20 $$ Подставим значение $v_c = 20$ в первое уравнение системы: $$ 20 + v_r = 22 $$ $$ v_r = 2 $$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 20 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 20 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

139. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 6 км, вышли навстречу друг другу два пешехода, которые встретились на середине пути, причём один из них вышел на 15 мин позже другого. Если бы они вышли одновременно, то встретились бы через 36 мин. Найдите скорость каждого пешехода.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно, выраженные в км/ч.

Общее расстояние между сёлами $S = 6$ км.

Анализ условия об одновременном выходе

Если бы пешеходы вышли одновременно, они бы встретились через 36 минут. Переведём время в часы: $t = 36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0,6$ ч.

При движении навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. Расстояние, которое они проходят вместе до встречи, равно общему расстоянию $S$. Используем формулу $S = v \cdot t$:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t$

$6 = (v_1 + v_2) \cdot 0,6$

Отсюда можем найти сумму их скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{6}{0,6} = 10$ (км/ч)

Это первое уравнение системы.

Анализ условия о разновременном выходе

Пешеходы встретились на середине пути. Это значит, что каждый из них прошёл половину расстояния, то есть $S/2 = 6/2 = 3$ км.

Один из них вышел на 15 минут позже другого. Переведём разницу во времени в часы: $\Delta t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0,25$ ч.

Время, которое затратил первый пешеход на свой путь, равно $t_1 = \frac{3}{v_1}$.

Время, которое затратил второй пешеход на свой путь, равно $t_2 = \frac{3}{v_2}$.

Поскольку один из них вышел на 15 минут позже, но они встретились в одно и то же время, разница во времени, которое они провели в пути, составляет 0,25 часа. Пешеход с меньшей скоростью был в пути дольше. Допустим, $v_1$ - скорость того, кто был в пути дольше. Тогда:

$t_1 - t_2 = 0,25$

$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,25$

Это второе уравнение системы.

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 10 \\ \frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 10 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{10 - v_1} = 0,25$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(10 - v_1)$:

$\frac{3(10 - v_1) - 3v_1}{v_1(10 - v_1)} = 0,25$

$\frac{30 - 3v_1 - 3v_1}{10v_1 - v_1^2} = 0,25$

$\frac{30 - 6v_1}{10v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$4(30 - 6v_1) = 1(10v_1 - v_1^2)$

$120 - 24v_1 = 10v_1 - v_1^2$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 - 10v_1 - 24v_1 + 120 = 0$

$v_1^2 - 34v_1 + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а их произведение равно 120. Подбором находим корни: 30 и 4.

$v_{1,1} = 30$ и $v_{1,2} = 4$.

Рассмотрим оба возможных решения:

1. Если $v_1 = 30$ км/ч, то $v_2 = 10 - v_1 = 10 - 30 = -20$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.

2. Если $v_1 = 4$ км/ч, то $v_2 = 10 - v_1 = 10 - 4 = 6$ км/ч. Обе скорости положительны, что является физически осмысленным решением.

Проверим найденные скорости. Время первого для прохождения 3 км: $t_1 = 3/4$ ч = 45 мин. Время второго: $t_2 = 3/6$ ч = 0,5 ч = 30 мин. Разница во времени: $45 - 30 = 15$ мин, что соответствует условию.

Таким образом, скорости пешеходов равны 4 км/ч и 6 км/ч.

Ответ: 4 км/ч и 6 км/ч.