Номер 138, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения за 6 ч. Этот катер проходит 44 км по течению на 3 ч быстрее, чем 90 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть $v_c$ км/ч — собственная скорость катера, а $v_r$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_c + v_r)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(v_c - v_r)$ км/ч.

Согласно первому условию, катер проходит 66 км по течению и 54 км против течения за 6 часов. Время в пути равно отношению расстояния к скорости, поэтому мы можем составить первое уравнение: $$ \frac{66}{v_c + v_r} + \frac{54}{v_c - v_r} = 6 $$

Согласно второму условию, катер проходит 44 км по течению на 3 часа быстрее, чем 90 км против течения. Это означает, что разница во времени (время против течения минус время по течению) составляет 3 часа. Составим второе уравнение: $$ \frac{90}{v_c - v_r} - \frac{44}{v_c + v_r} = 3 $$

Мы получили систему из двух уравнений. Для упрощения решения введем новые переменные: пусть $x = v_c + v_r$ (скорость по течению) и $y = v_c - v_r$ (скорость против течения), где $x > 0$ и $y > 0$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} \frac{66}{x} + \frac{54}{y} = 6 \\ \frac{90}{y} - \frac{44}{x} = 3 \end{cases} $$

Разделим обе части первого уравнения на 6: $$ \frac{11}{x} + \frac{9}{y} = 1 $$ Умножим это уравнение на 4, чтобы в дальнейшем применить метод сложения для исключения переменной $x$: $$ 4 \left( \frac{11}{x} + \frac{9}{y} \right) = 4 \cdot 1 \implies \frac{44}{x} + \frac{36}{y} = 4 $$ Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы: $$ \left( \frac{44}{x} + \frac{36}{y} \right) + \left( \frac{90}{y} - \frac{44}{x} \right) = 4 + 3 $$ $$ \frac{36}{y} + \frac{90}{y} = 7 $$ $$ \frac{126}{y} = 7 $$ $$ y = \frac{126}{7} = 18 $$

Подставим найденное значение $y = 18$ в уравнение $\frac{11}{x} + \frac{9}{y} = 1$: $$ \frac{11}{x} + \frac{9}{18} = 1 $$ $$ \frac{11}{x} + \frac{1}{2} = 1 $$ $$ \frac{11}{x} = 1 - \frac{1}{2} $$ $$ \frac{11}{x} = \frac{1}{2} $$ $$ x = 22 $$

Теперь, зная скорость по течению ($x = 22$ км/ч) и скорость против течения ($y = 18$ км/ч), вернемся к исходным переменным, чтобы найти собственную скорость катера ($v_c$) и скорость течения ($v_r$): $$ \begin{cases} v_c + v_r = 22 \\ v_c - v_r = 18 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $$ (v_c + v_r) + (v_c - v_r) = 22 + 18 $$ $$ 2v_c = 40 $$ $$ v_c = 20 $$ Подставим значение $v_c = 20$ в первое уравнение системы: $$ 20 + v_r = 22 $$ $$ v_r = 2 $$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 20 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 20 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.