Номер 141, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 8 ч. Если сначала через первую трубу наполнить половину бассейна, а потом через вторую трубу — оставшуюся часть бассейна, то весь бассейн будет наполнен за 18 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Обозначим за $t_1$ время (в часах), за которое первая труба может наполнить весь бассейн, и за $t_2$ — время, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн. Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $\frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а второй — $\frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

1. Составление системы уравнений по условиям задачи.

Согласно первому условию, если открыть обе трубы одновременно, бассейн наполнится за 8 часов. Это означает, что их суммарная производительность равна $\frac{1}{8}$ бассейна в час. Получаем первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

Согласно второму условию, сначала первая труба наполняет половину бассейна, а затем вторая — оставшуюся половину. Общее время составляет 18 часов. Время, за которое первая труба наполнит половину бассейна, равно $\frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ часов. Время, за которое вторая труба наполнит вторую половину, равно $\frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$ часов. Получаем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 18$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы упростить его:

$t_1 + t_2 = 36$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

2. Решение системы уравнений.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{8}$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $t_1 + t_2 = 36$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{36}{t_1 t_2} = \frac{1}{8}$

Отсюда находим произведение $t_1 t_2$:

$t_1 t_2 = 36 \cdot 8 = 288$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

Согласно обратной теореме Виета, $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 36x + 288 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144$

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, время наполнения бассейна для одной трубы составляет 12 часов, а для другой — 24 часа.

Ответ: Одна труба может наполнить бассейн за 12 часов, а другая — за 24 часа.