Номер 147, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 9 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них пришёл во второе село через 1 ч 21 мин после встречи, а другой в первое село — через 36 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый пешеход и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешехода соответственно (в км/ч), а $t_{встр}$ — время от начала движения до их встречи (в часах). Общее расстояние между селами $S = 9$ км.

Время, которое первый пешеход шёл после встречи до второго села, равно $t_1 = 1 \text{ ч } 21 \text{ мин}$. Время, которое второй пешеход шёл после встречи до первого села, равно $t_2 = 36 \text{ мин}$.

Переведем время в часы для удобства расчетов:
$t_1 = 1 + \frac{21}{60} = 1 + \frac{7}{20} = \frac{27}{20} = 1.35$ часа.
$t_2 = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$ часа.

Найдем, через какое время после начала движения состоялась их встреча

До встречи первый пешеход прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{встр}$. Второй пешеход прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_{встр}$. Вместе они прошли все расстояние: $S_1 + S_2 = S$.

После встречи первому пешеходу осталось пройти расстояние $S_2$, и он прошел его за время $t_1$. Таким образом, $S_2 = v_1 \cdot t_1$.
Второму пешеходу после встречи осталось пройти расстояние $S_1$, и он прошел его за время $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Теперь у нас есть система уравнений:
$S_1 = v_1 \cdot t_{встр}$
$S_1 = v_2 \cdot t_2$
$S_2 = v_2 \cdot t_{встр}$
$S_2 = v_1 \cdot t_1$

Приравняем выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_1 \cdot t_{встр} = v_2 \cdot t_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_{встр}}$
$v_2 \cdot t_{встр} = v_1 \cdot t_1 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_{встр}}{t_1}$

Так как левые части уравнений равны, то равны и правые:
$\frac{t_2}{t_{встр}} = \frac{t_{встр}}{t_1}$
Отсюда $t_{встр}^2 = t_1 \cdot t_2$.

Подставим числовые значения:
$t_{встр}^2 = 1.35 \cdot 0.6 = \frac{27}{20} \cdot \frac{3}{5} = \frac{81}{100}$
$t_{встр} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0.9$ часа.

Переведем время встречи в минуты: $0.9 \cdot 60 = 54$ минуты.
Ответ: Встреча состоялась через 54 минуты после начала движения.

Найдем, с какой скоростью двигался каждый пешеход

Теперь, зная время до встречи, мы можем найти скорости пешеходов. Весь путь первого пешехода занял время $T_1 = t_{встр} + t_1 = 0.9 + 1.35 = 2.25$ часа. За это время он прошел расстояние $S=9$ км. Его скорость:
$v_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{9}{2.25} = \frac{9}{9/4} = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$ км/ч.

Весь путь второго пешехода занял время $T_2 = t_{встр} + t_2 = 0.9 + 0.6 = 1.5$ часа. За это время он прошел расстояние $S=9$ км. Его скорость:
$v_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{9}{1.5} = \frac{9}{3/2} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ км/ч.
Ответ: Скорость первого пешехода — 4 км/ч, скорость второго пешехода — 6 км/ч.