Номер 144, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Две точки двигаются по окружности в одном направлении. Первая точка проходит окружность на 2 с быстрее второй и догоняет её через каждые 12 с. За какое время каждая точка проходит окружность?

Обозначим за $t_1$ время, за которое первая точка проходит полный круг, и за $t_2$ — время, за которое вторая точка проходит полный круг (в секундах).

Согласно условию, первая точка проходит окружность на 2 секунды быстрее второй. Это можно выразить уравнением:

$t_1 = t_2 - 2$

Скорость движения точки — это величина, обратная времени прохождения одного круга. Если принять длину окружности за 1, то угловые скорости точек будут $v_1 = 1/t_1$ и $v_2 = 1/t_2$ (в кругах в секунду).

Первая точка догоняет вторую каждые 12 секунд. Это означает, что за 12 секунд первая точка проходит ровно на один круг больше, чем вторая. Скорость, с которой первая точка догоняет вторую (относительная скорость), равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.

За время $T = 12$ с первая точка "покрывает" разницу в один круг. Таким образом, можно составить второе уравнение:

$v_1 - v_2 = \frac{1}{12}$

Подставим выражения для скоростей через время:

$\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_1 = t_2 - 2 \\ \frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \end{cases}$

Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{t_2 - 2} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{t_2 - (t_2 - 2)}{(t_2 - 2)t_2} = \frac{1}{12}$

$\frac{2}{t_2^2 - 2t_2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим:

$t_2^2 - 2t_2 = 2 \cdot 12$

$t_2^2 - 2t_2 - 24 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни уравнения:

$t_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$

$t_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -4$ не является решением задачи. Таким образом, время, за которое вторая точка проходит окружность, равно 6 секундам.

Теперь найдем время для первой точки, используя первое уравнение системы:

$t_1 = t_2 - 2 = 6 - 2 = 4$

Итак, первая точка проходит окружность за 4 секунды, а вторая — за 6 секунд.

За какое время каждая точка проходит окружность?

Первая точка проходит окружность за 4 секунды, вторая точка проходит окружность за 6 секунд.

Ответ: 4 с и 6 с.