Номер 140, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Два рабочих вместе могут выполнить заказ за 12 дней. Они проработали вместе 10 дней, а затем один из рабочих в одиночку закончил выполнение заказа за 5 дней. За сколько дней каждый рабочий может выполнить данный заказ?

Примем весь объем работы (заказ) за 1.

Пусть $x$ – количество дней, за которое первый рабочий может выполнить весь заказ, работая в одиночку, а $y$ – количество дней, за которое второй рабочий может выполнить весь заказ в одиночку.

Тогда производительность (часть заказа, выполняемая за один день) первого рабочего равна $p_1 = \frac{1}{x}$, а производительность второго рабочего – $p_2 = \frac{1}{y}$.

По условию, два рабочих вместе могут выполнить заказ за 12 дней. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. Составим первое уравнение:

$(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1 \implies p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

Рабочие проработали вместе 10 дней. За это время они выполнили часть заказа:

$W_{совместно} = (p_1 + p_2) \cdot 10 = \frac{1}{12} \cdot 10 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

После этого осталась невыполненной следующая часть заказа:

$W_{остаток} = 1 - W_{совместно} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

По условию, один из рабочих закончил эту оставшуюся часть заказа за 5 дней. Допустим, это был первый рабочий. Тогда его производительность $p_1$ можно найти из соотношения:

$p_1 \cdot 5 = W_{остаток}$

$p_1 \cdot 5 = \frac{1}{6} \implies p_1 = \frac{1}{6 \cdot 5} = \frac{1}{30}$

Это означает, что производительность первого рабочего – $\frac{1}{30}$ заказа в день. Следовательно, на выполнение всего заказа в одиночку ему потребуется 30 дней.

$x = \frac{1}{p_1} = 30$ дней.

Теперь найдем производительность второго рабочего, используя первое уравнение:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{30} + p_2 = \frac{1}{12}$

$p_2 = \frac{1}{12} - \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$p_2 = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Производительность второго рабочего – $\frac{1}{20}$ заказа в день. Это означает, что на выполнение всего заказа в одиночку ему потребуется 20 дней.

$y = \frac{1}{p_2} = 20$ дней.

Если бы оставшуюся часть работы выполнял второй рабочий, то результаты были бы зеркальными: второй рабочий выполнил бы заказ за 30 дней, а первый – за 20. В любом случае, одному рабочему требуется 20 дней, а другому – 30.

Ответ: один рабочий может выполнить данный заказ за 20 дней, а другой – за 30 дней.