Номер 145, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Дорога между сёлами А и В сначала идёт вверх, а затем спускается. Пешеход на путь из А в В тратит $4 \text{ ч}$, а на обратный путь — $4 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. На подъёме он движется на $1 \text{ км/ч}$ медленнее, чем на спуске. С какой скоростью пешеход идёт в гору и с какой — с горы, если расстояние между сёлами А и В равно $10 \text{ км}$?

Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода на подъёме (в гору). По условию, на подъёме он движется на 1 км/ч медленнее, чем на спуске, следовательно, его скорость на спуске (с горы) равна $(x+1)$ км/ч.

Обозначим длину подъёма на пути из села А в село В как $S_1$ км, а длину спуска — как $S_2$ км. Общее расстояние между сёлами А и В равно 10 км, следовательно, $S_1 + S_2 = 10$.

Время, затраченное на путь из А в В, складывается из времени на подъём и времени на спуск: $T_{А \to В} = \frac{S_1}{x} + \frac{S_2}{x+1}$. По условию, это время равно 4 часам. Получаем первое уравнение:$$ \frac{S_1}{x} + \frac{S_2}{x+1} = 4 $$

На обратном пути из В в А участок, который был спуском ($S_2$), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом ($S_1$), — спуском. Время на обратный путь составляет 4 ч 20 мин, что равно $4 + \frac{20}{60} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$ часа. Время, затраченное на путь из В в А: $T_{В \to А} = \frac{S_2}{x} + \frac{S_1}{x+1}$. Получаем второе уравнение:$$ \frac{S_2}{x} + \frac{S_1}{x+1} = \frac{13}{3} $$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Чтобы её решить, сложим два полученных уравнения:$$ \left(\frac{S_1}{x} + \frac{S_2}{x+1}\right) + \left(\frac{S_2}{x} + \frac{S_1}{x+1}\right) = 4 + \frac{13}{3} $$Сгруппируем слагаемые:$$ \frac{S_1+S_2}{x} + \frac{S_1+S_2}{x+1} = \frac{12+13}{3} $$Так как $S_1+S_2 = 10$, подставим это значение в уравнение:$$ \frac{10}{x} + \frac{10}{x+1} = \frac{25}{3} $$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Разделим обе части уравнения на 5:$$ \frac{2}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{5}{3} $$Приведём левую часть к общему знаменателю:$$ \frac{2(x+1) + 2x}{x(x+1)} = \frac{5}{3} $$$$ \frac{4x+2}{x^2+x} = \frac{5}{3} $$Используя свойство пропорции (перекрёстное умножение), получаем:$$ 3(4x+2) = 5(x^2+x) $$$$ 12x+6 = 5x^2+5x $$Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$$ 5x^2 - 7x - 6 = 0 $$Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$. Корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 13}{10} = -0.6 $$$$ x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2 $$Так как скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x=2$.

Таким образом, скорость пешехода на подъёме (в гору) составляет 2 км/ч, а на спуске (с горы) — $x+1 = 2+1 = 3$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода в гору — 2 км/ч, скорость с горы — 3 км/ч.