Номер 143, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Одновременно из одного города в одном направлении выехали два мотоциклиста: первый со скоростью $80 \text{ км/ч}$, а второй — $60 \text{ км/ч}$. Через полчаса из этого города в этом же направлении выехал третий мотоциклист. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если известно, что он догнал первого мотоциклиста через 1 ч 15 мин после того, как догнал второго.

Решение:

Обозначим скорости мотоциклистов как $v_1 = 80$ км/ч, $v_2 = 60$ км/ч. Пусть $v_3 = x$ км/ч — искомая скорость третьего мотоциклиста. Третий мотоциклист выехал на 0,5 часа позже первых двух.

1. Найдем время, когда третий мотоциклист догнал второго.
К моменту выезда третьего мотоциклиста (через 0,5 ч) второй мотоциклист проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot 0.5 = 60 \cdot 0.5 = 30$ км. Скорость сближения третьего и второго мотоциклистов равна $(x - 60)$ км/ч. Время, которое потребовалось третьему, чтобы догнать второго с момента своего выезда, равно $t_{сбл2} = \frac{30}{x-60}$ ч. Общее время с момента старта первых двух мотоциклистов до момента, когда третий догнал второго, составляет $T_2 = 0.5 + t_{сбл2} = 0.5 + \frac{30}{x-60} = \frac{0.5(x-60) + 30}{x-60} = \frac{0.5x - 30 + 30}{x-60} = \frac{0.5x}{x-60}$ ч.

2. Найдем время, когда третий мотоциклист догнал первого.
К моменту выезда третьего мотоциклиста первый проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 0.5 = 80 \cdot 0.5 = 40$ км. Скорость сближения третьего и первого мотоциклистов равна $(x - 80)$ км/ч. Время, которое потребовалось третьему, чтобы догнать первого с момента своего выезда, равно $t_{сбл1} = \frac{40}{x-80}$ ч. Общее время с момента старта первых двух мотоциклистов до момента, когда третий догнал первого, составляет $T_1 = 0.5 + t_{сбл1} = 0.5 + \frac{40}{x-80} = \frac{0.5(x-80) + 40}{x-80} = \frac{0.5x - 40 + 40}{x-80} = \frac{0.5x}{x-80}$ ч.

3. Составим и решим уравнение.
По условию, третий мотоциклист догнал первого на 1 час 15 минут позже, чем второго. Переведем 1 ч 15 мин в часы: $1 + \frac{15}{60} = 1 + \frac{1}{4} = 1.25$ ч. Разница во времени $T_1 - T_2 = 1.25$ ч.
$\frac{0.5x}{x-80} - \frac{0.5x}{x-60} = 1.25$
Вынесем $0.5x$ за скобки:
$0.5x \left( \frac{1}{x-80} - \frac{1}{x-60} \right) = 1.25$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$0.5x \left( \frac{x-60 - (x-80)}{(x-80)(x-60)} \right) = 1.25$
$0.5x \left( \frac{x-60-x+80}{(x-80)(x-60)} \right) = 1.25$
$0.5x \left( \frac{20}{x^2 - 140x + 4800} \right) = 1.25$
$\frac{10x}{x^2 - 140x + 4800} = 1.25$
$10x = 1.25(x^2 - 140x + 4800)$
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби ($1.25 \cdot 4 = 5$):
$40x = 5(x^2 - 140x + 4800)$
Разделим обе части на 5:
$8x = x^2 - 140x + 4800$
$x^2 - 148x + 4800 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-148)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 21904 - 19200 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 + 52}{2} = \frac{200}{2} = 100$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 - 52}{2} = \frac{96}{2} = 48$

4. Анализ полученных корней.
Скорость третьего мотоциклиста должна быть больше скоростей первого и второго, чтобы он мог их догнать, то есть $x > 80$ км/ч. Корень $x_2 = 48$ км/ч не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 100$ км/ч удовлетворяет условию $100 > 80$.
Следовательно, скорость третьего мотоциклиста равна 100 км/ч.

Ответ: 100 км/ч.