Номер 134, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Сколько решений в зависимости от значения $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 1, \\y = x + a;\end{cases}$

2) $\begin{cases}x^2 + y^2 = a^2, \\|x| = 3?\end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = x + a \end{cases} $
Для нахождения количества решений подставим второе уравнение в первое:
$x^2 + (x + a)^2 = 1$
$x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 1$
$2x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество решений этого уравнения (и, соответственно, исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$.
Для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае $A=2$, $B=2a$, $C=a^2 - 1$.
$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 8(a^2 - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = 8 - 4a^2$.

Исследуем количество решений в зависимости от знака дискриминанта:
1. Система не имеет решений, если $D < 0$.
$8 - 4a^2 < 0$
$8 < 4a^2$
$a^2 > 2$
Это неравенство выполняется при $a < -\sqrt{2}$ или $a > \sqrt{2}$.

2. Система имеет одно решение, если $D = 0$.
$8 - 4a^2 = 0$
$4a^2 = 8$
$a^2 = 2$
Это равенство выполняется при $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$.

3. Система имеет два решения, если $D > 0$.
$8 - 4a^2 > 0$
$8 > 4a^2$
$a^2 < 2$
Это неравенство выполняется при $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$.

Ответ:
- при $|a| > \sqrt{2}$ (т.е. $a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$) — решений нет;
- при $|a| = \sqrt{2}$ (т.е. $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$) — одно решение;
- при $|a| < \sqrt{2}$ (т.е. $a \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$) — два решения.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |x| = 3 \end{cases} $
Второе уравнение $|x|=3$ равносильно совокупности двух уравнений: $x=3$ или $x=-3$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.
Случай 1: $x=3$
Подставим это значение в первое уравнение:
$3^2 + y^2 = a^2$
$9 + y^2 = a^2$
$y^2 = a^2 - 9$
Количество решений для $y$ зависит от значения выражения $a^2 - 9$:
- Если $a^2 - 9 > 0$ (т.е. $a^2 > 9$, или $|a| > 3$), уравнение имеет два решения: $y = \pm\sqrt{a^2 - 9}$.
- Если $a^2 - 9 = 0$ (т.е. $a^2 = 9$, или $|a| = 3$), уравнение имеет одно решение: $y = 0$.
- Если $a^2 - 9 < 0$ (т.е. $a^2 < 9$, или $|a| < 3$), уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $x=-3$
Подставим это значение в первое уравнение:
$(-3)^2 + y^2 = a^2$
$9 + y^2 = a^2$
$y^2 = a^2 - 9$
Это то же самое уравнение для $y$, что и в первом случае, и количество решений для $y$ будет таким же.

Теперь объединим результаты для определения общего числа решений системы:
- Если $|a| < 3$, то ни в первом, ни во втором случае решений для $y$ нет. Следовательно, система не имеет решений.
- Если $|a| = 3$, то в первом случае ($x=3$) есть одно решение $y=0$, что дает точку $(3, 0)$. Во втором случае ($x=-3$) также есть одно решение $y=0$, что дает точку $(-3, 0)$. Всего система имеет два решения.
- Если $|a| > 3$, то в первом случае ($x=3$) есть два решения для $y$, что дает две точки $(3, \sqrt{a^2-9})$ и $(3, -\sqrt{a^2-9})$. Во втором случае ($x=-3$) также есть два решения для $y$, что дает еще две точки $(-3, \sqrt{a^2-9})$ и $(-3, -\sqrt{a^2-9})$. Всего система имеет четыре решения.

Ответ:
- при $|a| < 3$ (т.е. $a \in (-3; 3)$) — решений нет;
- при $|a| = 3$ (т.е. $a=3$ или $a=-3$) — два решения;
- при $|a| > 3$ (т.е. $a \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$) — четыре решения.