Номер 131, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 36, \\ x + y = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 4, \\ x^2 - xy - 4y^2 = -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ xy + y^2 = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 6y^2 = -5, \\ x^2 + 6y^2 = 7; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x + 3xy = -20, \\ y - 3xy = 28; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 4x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -3. \end{cases}$

1)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 36, \\ x + y = -4 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
Таким образом, первое уравнение принимает вид:
$(x-y)^2 = 36$
Отсюда следует, что $x-y$ может быть равно $6$ или $-6$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x-y = 6$.
Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 6, \\ x + y = -4 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 6 + (-4)$, что дает $2x = 2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ во второе уравнение исходной системы: $1 + y = -4$, откуда $y=-5$.
Первое решение: $(1, -5)$.
Случай 2: $x-y = -6$.
Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = -6, \\ x + y = -4 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = -6 + (-4)$, что дает $2x = -10$, откуда $x=-5$.
Подставим $x=-5$ во второе уравнение исходной системы: $-5 + y = -4$, откуда $y=1$.
Второе решение: $(-5, 1)$.
Ответ: $(1, -5)$, $(-5, 1)$.

2)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 4, \\ x^2 - xy - 4y^2 = -2 \end{cases} $
Первое уравнение является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x+3y)^2$.
Таким образом, $(x+3y)^2 = 4$, откуда $x+3y = 2$ или $x+3y = -2$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x+3y = 2$, откуда $x = 2-3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2-3y)^2 - (2-3y)y - 4y^2 = -2$
$(4 - 12y + 9y^2) - (2y - 3y^2) - 4y^2 = -2$
$4 - 12y + 9y^2 - 2y + 3y^2 - 4y^2 = -2$
$8y^2 - 14y + 6 = 0$
$4y^2 - 7y + 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$y_1 = \frac{7+1}{8} = 1$, тогда $x_1 = 2 - 3(1) = -1$.
$y_2 = \frac{7-1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, тогда $x_2 = 2 - 3(\frac{3}{4}) = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4}$.
Получили два решения: $(-1, 1)$ и $(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$.
Случай 2: $x+3y = -2$, откуда $x = -2-3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(-2-3y)^2 - (-2-3y)y - 4y^2 = -2$
$(4 + 12y + 9y^2) - (-2y - 3y^2) - 4y^2 = -2$
$4 + 12y + 9y^2 + 2y + 3y^2 - 4y^2 = -2$
$8y^2 + 14y + 6 = 0$
$4y^2 + 7y + 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$y_3 = \frac{-7+1}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$, тогда $x_3 = -2 - 3(-\frac{3}{4}) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.
$y_4 = \frac{-7-1}{8} = -1$, тогда $x_4 = -2 - 3(-1) = 1$.
Получили еще два решения: $(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4})$ и $(1, -1)$.
Ответ: $(-1, 1)$, $(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4})$, $(1, -1)$.

3)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ xy + y^2 = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(x^2 + xy) + (xy + y^2) = 6 + 3$
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
$(x+y)^2 = 9$
Отсюда $x+y=3$ или $x+y=-3$.
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + xy) - (xy + y^2) = 6 - 3$
$x^2 - y^2 = 3$
$(x-y)(x+y) = 3$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x+y = 3$.
Подставим это в уравнение $(x-y)(x+y)=3$:
$(x-y) \cdot 3 = 3$, откуда $x-y=1$.
Получаем систему:
$ \begin{cases} x+y = 3, \\ x-y = 1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x=4$, то есть $x=2$. Тогда $2+y=3$, $y=1$.
Решение: $(2, 1)$.
Случай 2: $x+y = -3$.
Подставим это в уравнение $(x-y)(x+y)=3$:
$(x-y) \cdot (-3) = 3$, откуда $x-y=-1$.
Получаем систему:
$ \begin{cases} x+y = -3, \\ x-y = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x=-4$, то есть $x=-2$. Тогда $-2+y=-3$, $y=-1$.
Решение: $(-2, -1)$.
Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

4)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 6y^2 = -5, \\ x^2 + 6y^2 = 7 \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.
Сложим два уравнения:
$(x^2 - 6y^2) + (x^2 + 6y^2) = -5 + 7$
$2x^2 = 2$
$x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.
Подставим $x^2 = 1$ в любое из уравнений, например, во второе:
$1 + 6y^2 = 7$
$6y^2 = 6$
$y^2 = 1$, откуда $y=1$ или $y=-1$.
Комбинируя возможные значения для $x$ и $y$, получаем четыре решения.
Ответ: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$.

5)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 3xy = -20, \\ y - 3xy = 28 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы избавиться от члена $3xy$:
$(2x + 3xy) + (y - 3xy) = -20 + 28$
$2x + y = 8$
Выразим $y$ через $x$: $y = 8 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$2x + 3x(8 - 2x) = -20$
$2x + 24x - 6x^2 = -20$
$-6x^2 + 26x + 20 = 0$
Разделим уравнение на $-2$:
$3x^2 - 13x - 10 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{13+17}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.
$x_2 = \frac{13-17}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$.
Если $x_2 = -\frac{2}{3}$, то $y_2 = 8 - 2(-\frac{2}{3}) = 8 + \frac{4}{3} = \frac{24+4}{3} = \frac{28}{3}$.
Ответ: $(5, -2)$, $(-\frac{2}{3}, \frac{28}{3})$.

6)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{3}{x}$ (так как $x \ne 0$).
Подставим это в первое уравнение:
$4x^2 + (-\frac{3}{x})^2 = 13$
$4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$
Умножим обе части на $x^2$:
$4x^4 + 9 = 13x^2$
$4x^4 - 13x^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t > 0$):
$4t^2 - 13t + 9 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{13+5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.
$t_2 = \frac{13-5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к замене.
Случай 1: $x^2 = t_1 = \frac{9}{4}$.
$x = \pm \frac{3}{2}$.
Если $x = \frac{3}{2}$, то $y = -\frac{3}{3/2} = -2$.
Если $x = -\frac{3}{2}$, то $y = -\frac{3}{-3/2} = 2$.
Получаем решения $(\frac{3}{2}, -2)$ и $(-\frac{3}{2}, 2)$.
Случай 2: $x^2 = t_2 = 1$.
$x = \pm 1$.
Если $x = 1$, то $y = -\frac{3}{1} = -3$.
Если $x = -1$, то $y = -\frac{3}{-1} = 3$.
Получаем решения $(1, -3)$ и $(-1, 3)$.
Ответ: $(\frac{3}{2}, -2)$, $(-\frac{3}{2}, 2)$, $(1, -3)$, $(-1, 3)$.