Номер 127, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Решите графически систему уравнений:

1)

Для решения системы $ \begin{cases} xy = 8, \\ x + y = 6 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $xy = 8$, можно представить в виде функции $y = 8/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек: (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1), а также (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1).

Второе уравнение, $x + y = 6$, можно представить в виде функции $y = 6 - x$. Это прямая. Для её построения достаточно двух точек, например, (0, 6) и (6, 0).

Построив оба графика, находим их точки пересечения. Из графиков видно, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках: (2, 4) и (4, 2).

Ответ: (2, 4), (4, 2).

2)

Для решения системы $ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 3, \\ y = 3x - 1 \end{cases} $ графически, построим графики каждой функции.

Первая функция $y = x^2 - 2x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$, $y_0 = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. Вершина находится в точке (1, 2). Для построения возьмем еще несколько точек: (0, 3), (2, 3), (3, 6), (4, 11).

Вторая функция $y = 3x - 1$ — это прямая. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -1) и (1, 2).

Построив графики параболы и прямой в одной системе координат, находим их точки пересечения. Это точки (1, 2) и (4, 11).

Ответ: (1, 2), (4, 11).

3)

Для решения системы $ \begin{cases} x^2 - y = 8, \\ x + y = -2 \end{cases} $ графически, преобразуем уравнения и построим их графики.

Первое уравнение преобразуется к виду $y = x^2 - 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, -8).

Второе уравнение преобразуется к виду $y = -x - 2$. Это прямая, проходящая через точки (0, -2) и (-2, 0).

Строим параболу и прямую в одной системе координат. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в точках (-3, 1) и (2, -4).

Ответ: (-3, 1), (2, -4).

4)

Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 2x - 5 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y = 2x - 5$ — это прямая. Для её построения можно взять точки (0, -5) и (2.5, 0).

Построив окружность и прямую, находим их точки пересечения. Графики пересекаются в точках (0, -5) и (4, 3).

Ответ: (0, -5), (4, 3).

5)

Для решения системы $ \begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 10, \\ x + y + 4 = 0 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение $(x + 2)^2 + y^2 = 10$ — это уравнение окружности с центром в точке (-2, 0) и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение $x + y + 4 = 0$ можно переписать в виде $y = -x - 4$. Это прямая, проходящая через точки (0, -4) и (-4, 0).

Строим окружность и прямую в одной системе координат. Точками пересечения графиков являются решения системы. Из построения находим, что это точки (-5, 1) и (-1, -3).

Ответ: (-5, 1), (-1, -3).

6)

Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 13$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение $xy = -6$ можно представить в виде $y = -6/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Построив окружность и гиперболу, находим их точки пересечения. Графики пересекаются в четырех точках: (-3, 2), (-2, 3), (2, -3) и (3, -2).

Ответ: (-3, 2), (-2, 3), (2, -3), (3, -2).