Номер 128, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x - 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 - 5, \\ y = 6 - x^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = 5, \\ y = 0,5x^2 + 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + (y + 3)^2 = 9, \\ y = -4x^2 + 2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} |y| = |x|, \\ y = x^2 - 6x + 5. \end{cases}$

Рассмотрим графики уравнений системы: $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 4$. График уравнения $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, лежащая в первой координатной четверти. График уравнения $y = x - 4$ — это прямая, проходящая через точки $(4, 0)$ и $(0, -4)$. Поскольку график $y = \sqrt{x}$ существует только при $x \ge 0$ и $y \ge 0$, пересечение возможно только при $x-4 \ge 0$, то есть при $x \ge 4$. В точке $x=4$ значение функции $y=\sqrt{x}$ равно $2$, а значение функции $y=x-4$ равно $0$. Так как прямая растет быстрее, чем ветвь параболы (при $x > 1/4$), и в точке $x=4$ прямая находится ниже, графики пересекутся ровно в одной точке.

Ответ: 1

Рассмотрим графики уравнений системы: $y = x^2 - 5$ и $y = 6 - x^2$. График уравнения $y = x^2 - 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -5)$, ветви которой направлены вверх. График уравнения $y = 6 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 6)$, ветви которой направлены вниз. Обе параболы симметричны относительно оси Oy. Вершина одной параболы находится ниже вершины другой, а ветви направлены навстречу друг другу. Следовательно, графики пересекутся в двух точках, симметричных относительно оси Oy.

Ответ: 2

Рассмотрим графики уравнений системы: $x^2 + y^2 = 4$ и $y = x^2 - 2$. График уравнения $x^2 + y^2 = 4$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $2$. График уравнения $y = x^2 - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы $(0, -2)$ является самой нижней точкой окружности, так как $0^2 + (-2)^2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх "внутрь" окружности и пересекут ее еще в двух точках, симметричных относительно оси Oy. Таким образом, всего будет три точки пересечения.

Ответ: 3

Рассмотрим графики уравнений системы: $xy = 5$ и $y = 0,5x^2 + 1$. График уравнения $xy = 5$, или $y = 5/x$, — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. График уравнения $y = 0,5x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. Вся парабола лежит в верхней полуплоскости, так как $y \ge 1$. Поэтому она может пересекаться только с ветвью гиперболы, расположенной в первой четверти (где $y>0$). В первой четверти парабола возрастает от $(0,1)$, а гипербола убывает. Они обязательно пересекутся, причем только в одной точке.

Ответ: 1

Рассмотрим графики уравнений системы: $x^2 + (y + 3)^2 = 9$ и $y = -4x^2 + 2$. График уравнения $x^2 + (y + 3)^2 = 9$ — это окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $3$. Самая высокая точка окружности - $(0, 0)$, самая низкая - $(0, -6)$. График уравнения $y = -4x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы $(0, 2)$ находится над окружностью. Так как ветви параболы направлены вниз, они пересекут окружность в двух точках. Парабола продолжит движение вниз внутри окружности и, поскольку она уже, чем окружность на определенной высоте, пересечет ее снова в двух других точках. Таким образом, графики имеют четыре точки пересечения.

Ответ: 4

Рассмотрим графики уравнений системы: $|y| = |x|$ и $y = x^2 - 6x + 5$. График уравнения $|y| = |x|$ представляет собой объединение двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. График уравнения $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(3, -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$. Найдем количество пересечений параболы с каждой из прямых. 1) Пересечение с $y = x$: $x = x^2 - 6x + 5 \implies x^2 - 7x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 20 = 29 > 0$, следовательно, есть две точки пересечения. 2) Пересечение с $y = -x$: $-x = x^2 - 6x + 5 \implies x^2 - 5x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 25 - 20 = 5 > 0$, следовательно, есть еще две точки пересечения. Всего получается четыре точки пересечения.

Ответ: 4