Номер 122, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Найдите значения $a$, при которых выполняется при всех действительных значениях $x$ неравенство:

1) $x^2 + 2(a-1)x + 4 - a - a^2 > 0;$

2) $-\frac{1}{3}x^2 + 3ax - 6a^2 - 12 \le 0;$

3) $ax^2 - 4x + a + 3 < 0;$

4) $(9 - a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \ge 0.$

1) $x^2 + 2(a - 1)x + 4 - a - a^2 > 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 + 2(a - 1)x + 4 - a - a^2$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы неравенство $y > 0$ выполнялось при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы парабола полностью располагалась выше оси абсцисс. Это условие выполняется, если у квадратного трехчлена нет действительных корней, то есть его дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант. Удобнее использовать "приведенный" дискриминант $D/4$ для уравнения с четным вторым коэффициентом: $D/4 = (a - 1)^2 - 1 \cdot (4 - a - a^2) = (a^2 - 2a + 1) - 4 + a + a^2 = 2a^2 - a - 3.$

Теперь решим неравенство $D/4 < 0$: $2a^2 - a - 3 < 0.$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2a^2 - a - 3 = 0$: $a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}.$ Корни: $a_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $a_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}.$

Парабола $y = 2a^2 - a - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2a^2 - a - 3 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, $-1 < a < \frac{3}{2}.$

Ответ: $a \in (-1; \frac{3}{2})$.

2) $-\frac{1}{3}x^2 + 3ax - 6a^2 - 12 \le 0$

Это квадратное неравенство относительно $x$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, что меньше нуля. Следовательно, ветви параболы $y = -\frac{1}{3}x^2 + 3ax - 6a^2 - 12$ направлены вниз. Для выполнения неравенства $y \le 0$ при всех действительных $x$ необходимо, чтобы парабола полностью располагалась ниже или касалась оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен должен иметь не более одного действительного корня, то есть его дискриминант $D$ должен быть меньше либо равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант: $D = (3a)^2 - 4(-\frac{1}{3})(-6a^2 - 12) = 9a^2 + \frac{4}{3}(-6a^2 - 12) = 9a^2 - 8a^2 - 16 = a^2 - 16.$

Решим неравенство $D \le 0$: $a^2 - 16 \le 0$ $(a - 4)(a + 4) \le 0.$ Корни уравнения $(a-4)(a+4)=0$ равны $a_1 = -4$ и $a_2 = 4$. Парабола $y = a^2-16$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая сами корни. Следовательно, $-4 \le a \le 4.$

Ответ: $a \in [-4; 4]$.

3) $ax^2 - 4x + a + 3 < 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$. Неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 4x + 0 + 3 < 0$, то есть $-4x + 3 < 0$. Решая это линейное неравенство, получаем $4x > 3$, или $x > \frac{3}{4}$. Это неравенство выполняется не для всех действительных $x$, поэтому $a = 0$ не является решением.

Случай 2: $a \neq 0$. В этом случае неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, график функции $y = ax^2 - 4x + a + 3$ (парабола) должен полностью лежать ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий: 1. Ветви параболы должны быть направлены вниз: $a < 0$. 2. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Найдем $D/4$: $D/4 = (-2)^2 - a(a + 3) = 4 - a^2 - 3a = -a^2 - 3a + 4.$ Решим неравенство $D/4 < 0$: $-a^2 - 3a + 4 < 0.$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $a^2 + 3a - 4 > 0.$ Найдем корни уравнения $a^2 + 3a - 4 = 0$ по теореме Виета: $a_1 = 1$, $a_2 = -4$. Парабола $y=a^2+3a-4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $a < -4$ или $a > 1$.

Теперь объединим полученные условия в систему: $\begin{cases} a < 0 \\ a < -4 \text{ или } a > 1 \end{cases}$ Решением системы является $a < -4$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.

4) $(9 - a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \ge 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $9 - a^2 = 0 \Rightarrow a = 3$ или $a = -3$. При $a = 3$: $(9 - 9)x^2 + 2(3 + 3)x + 1 \ge 0 \Rightarrow 12x + 1 \ge 0$. Это неравенство выполняется не для всех $x$. При $a = -3$: $(9 - 9)x^2 + 2(-3 + 3)x + 1 \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 0$. Это неравенство верно для всех действительных $x$. Значит, $a = -3$ является решением.

Случай 2: $9 - a^2 \neq 0$. Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, парабола $y = (9 - a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1$ должна располагаться выше или касаться оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий: 1. Ветви параболы должны быть направлены вверх: $9 - a^2 > 0$. 2. Дискриминант должен быть меньше либо равен нулю: $D \le 0$.

Решим первое условие: $9 - a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < 9 \Rightarrow -3 < a < 3$.

Найдем $D/4$ и решим второе условие: $D/4 = (a + 3)^2 - (9 - a^2) \cdot 1 = a^2 + 6a + 9 - 9 + a^2 = 2a^2 + 6a.$ Решим неравенство $D/4 \le 0$: $2a^2 + 6a \le 0$ $2a(a + 3) \le 0.$ Корни уравнения $2a(a+3)=0$ равны $a_1=0$ и $a_2=-3$. Парабола $y=2a^2+6a$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их: $-3 \le a \le 0$.

Найдем пересечение решений для случая 2: $\begin{cases} -3 < a < 3 \\ -3 \le a \le 0 \end{cases}$ Общим решением является интервал $-3 < a \le 0$.

Объединим результаты обоих случаев: решение из случая 1 ($a = -3$) и решение из случая 2 ($-3 < a \le 0$). В результате получаем $-3 \le a \le 0$.

Ответ: $a \in [-3; 0]$.