Номер 120, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Найдите, при каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + (a + 2)x + 4 = 0;$

2) $(a + 1)x^2 - 3ax + 4a = 0;$

3) $(10 - 2a)x^2 - (a - 5)x + 1 = 0;$

4) $(a + 1)x^2 - 2(a - 1)x + 3a - 3 = 0.$

1) $x^2 + (a + 2)x + 4 = 0$

Данное уравнение является квадратным при любом значении параметра a, так как коэффициент при $x^2$ равен 1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$). Найдем дискриминант: $D = (a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 + 4a + 4 - 16 = a^2 + 4a - 12$. Решим неравенство $D < 0$: $a^2 + 4a - 12 < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + 4a - 12 = 0$: $a_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$. Корни: $a_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$, $a_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$. Парабола $y = a^2 + 4a - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $a^2 + 4a - 12 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, $a \in (-6; 2)$.

Ответ: $a \in (-6; 2)$.

2) $(a + 1)x^2 - 3ax + 4a = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$. При $a = -1$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 3(-1)x + 4(-1) = 0$ $3x - 4 = 0$ $x = \frac{4}{3}$. Уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq -1$. В этом случае уравнение является квадратным. Оно не имеет корней, если дискриминант $D < 0$. $D = (-3a)^2 - 4(a+1)(4a) = 9a^2 - 16a(a+1) = 9a^2 - 16a^2 - 16a = -7a^2 - 16a$. Решим неравенство $-7a^2 - 16a < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $7a^2 + 16a > 0$ $a(7a + 16) > 0$. Корни уравнения $a(7a + 16) = 0$ равны $a_1 = 0$ и $a_2 = -\frac{16}{7}$. Парабола $y = 7a^2 + 16a$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях a вне интервала между корнями. $a \in (-\infty; -\frac{16}{7}) \cup (0; \infty)$. Условие $a \neq -1$ выполняется, так как $-1$ не входит в найденные промежутки.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{16}{7}) \cup (0; \infty)$.

3) $(10 - 2a)x^2 - (a - 5)x + 1 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $10 - 2a = 0 \Rightarrow a = 5$. При $a = 5$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - (5-5)x + 1 = 0$ $1 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=5$ уравнение не имеет корней. Значение $a=5$ является частью ответа.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 5$. Уравнение является квадратным. Оно не имеет корней, если дискриминант $D < 0$. $D = (-(a-5))^2 - 4(10-2a)(1) = (a-5)^2 - 4 \cdot 2(5-a) = (a-5)^2 + 8(a-5)$. $D = (a-5)(a-5+8) = (a-5)(a+3)$. Решим неравенство $(a-5)(a+3) < 0$. Корни уравнения $(a-5)(a+3) = 0$ равны $a_1 = -3$ и $a_2 = 5$. Парабола $y = (a-5)(a+3)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. $a \in (-3; 5)$.

Объединим результаты обоих случаев: из первого случая $a=5$, из второго $a \in (-3; 5)$. Объединение дает промежуток $a \in (-3; 5]$.

Ответ: $a \in (-3; 5]$.

4) $(a + 1)x^2 - 2(a - 1)x + 3a - 3 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. $a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$. При $a = -1$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2(-1-1)x + 3(-1) - 3 = 0$ $4x - 6 = 0$ $x = \frac{3}{2}$. Уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq -1$. Уравнение является квадратным. Коэффициент при x четный, поэтому для удобства найдем $D/4$. Уравнение не имеет корней, если $D < 0$ (что эквивалентно $D/4 < 0$). $D/4 = (-(a-1))^2 - (a+1)(3a-3) = (a-1)^2 - 3(a+1)(a-1)$. Вынесем $(a-1)$ за скобки: $D/4 = (a-1)((a-1) - 3(a+1)) = (a-1)(a-1-3a-3) = (a-1)(-2a-4) = -2(a-1)(a+2)$. Решим неравенство $D/4 < 0$: $-2(a-1)(a+2) < 0$. Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства: $(a-1)(a+2) > 0$. Корни уравнения $(a-1)(a+2) = 0$ равны $a_1 = -2$ и $a_2 = 1$. Парабола $y = (a-1)(a+2)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях a вне интервала между корнями. $a \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$. Условие $a \neq -1$ выполняется, так как $-1$ не входит в найденные промежутки.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.