Номер 125, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $x^2 - (a + 3)x + 3a \leq 0;$

2) $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 3a - 2 > 0.$

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = a+3$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 3a$. Отсюда следует, что корнями являются $x_1 = a$ и $x_2 = 3$.

Тогда неравенство можно переписать в виде $(x-a)(x-3) \le 0$.

Графиком функции $y = (x-a)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на промежутке между корнями (включая сами корни).

Для определения решения необходимо сравнить значения корней $a$ и $3$.

1. Если $a < 3$, то меньший корень равен $a$, а больший равен $3$. Решением неравенства будет промежуток $[a, 3]$.

2. Если $a = 3$, то корни совпадают: $x_1 = x_2 = 3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 \le 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому единственное решение — это когда $(x-3)^2 = 0$, то есть $x=3$.

3. Если $a > 3$, то меньший корень равен $3$, а больший равен $a$. Решением неравенства будет промежуток $[3, a]$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in [a, 3]$; если $a = 3$, то $x = 3$; если $a > 3$, то $x \in [3, a]$.

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 3a - 2 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 3a - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (1 - 3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - 3a - 2) = (1 - 6a + 9a^2) - (8a^2 - 12a - 8) = 1 - 6a + 9a^2 - 8a^2 + 12a + 8 = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.

Так как $D = (a+3)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(1-3a) \pm \sqrt{(a+3)^2}}{2} = \frac{3a-1 \pm (a+3)}{2}$.

$x_1 = \frac{3a-1 - (a+3)}{2} = \frac{2a-4}{2} = a-2$.

$x_2 = \frac{3a-1 + (a+3)}{2} = \frac{4a+2}{2} = 2a+1$.

Неравенство можно записать в виде $(x - (a-2))(x - (2a+1)) > 0$.

Графиком функции $y = (x - (a-2))(x - (2a+1))$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны ($ > 0 $) на промежутках вне интервала между корнями.

Для определения решения необходимо сравнить корни $x_1 = a-2$ и $x_2 = 2a+1$.

Найдем, при каком значении $a$ корни равны: $a-2 = 2a+1 \implies -a = 3 \implies a = -3$.

1. Если $a > -3$, то $a+3 > 0$, и $a-2 < 2a+1$. Решением будет объединение интервалов $(-\infty, a-2) \cup (2a+1, +\infty)$.

2. Если $a = -3$, то корни совпадают: $x_1 = x_2 = -3-2 = -5$. Неравенство принимает вид $(x+5)^2 > 0$. Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -5$. Решением является $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$.

3. Если $a < -3$, то $a+3 < 0$, и $a-2 > 2a+1$. Решением будет объединение интервалов $(-\infty, 2a+1) \cup (a-2, +\infty)$.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in (-\infty, 2a+1) \cup (a-2, +\infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$; если $a > -3$, то $x \in (-\infty, a-2) \cup (2a+1, +\infty)$.