Номер 130, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y=x-3$ и параболы $y=x^2-4x+3$;

2) прямой $x-2y+2=0$ и окружности $x^2+(y-1)^2=5$;

3) прямой $x+2y-5=0$ и окружности $(x-1)^2+(y-2)^2=5$;

4) парабол $y=2x^2-3x+1$ и $y=-x^2+x-1$.

1) Для нахождения координат точек пересечения прямой $y = x - 3$ и параболы $y = x^2 - 4x + 3$ необходимо решить систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений, чтобы исключить $y$: $x - 3 = x^2 - 4x + 3$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в более простое уравнение прямой $y = x - 3$. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 3 = -1$. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 3 - 3 = 0$. Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(2, -1)$ и $(3, 0)$.

2) Для нахождения координат точек пересечения прямой $x - 2y + 2 = 0$ и окружности $x^2 + (y - 1)^2 = 5$ решим систему уравнений:

Выразим $x$ из первого (линейного) уравнения: $x = 2y - 2$. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение (уравнение окружности): $(2y - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$. Раскроем скобки: $(4y^2 - 8y + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 5$. Приведем подобные слагаемые: $5y^2 - 10y + 5 = 5$. Упростим уравнение, вычитая 5 с обеих сторон: $5y^2 - 10y = 0$. Вынесем общий множитель $5y$ за скобки: $5y(y - 2) = 0$. Отсюда находим два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 2$. Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = 2y - 2$. Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2(0) - 2 = -2$. Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 2(2) - 2 = 2$. Таким образом, точки пересечения имеют следующие координаты.

Ответ: $(-2, 0)$ и $(2, 2)$.

3) Найдем точки пересечения прямой $x + 2y - 5 = 0$ и окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$. Для этого решим систему:

Из линейного уравнения $x + 2y - 5 = 0$ выразим $x$: $x = 5 - 2y$. Подставим это выражение в уравнение окружности: $((5 - 2y) - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$, что упрощается до $(4 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 5$. Раскроем скобки: $(16 - 16y + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 5$. Приведем подобные слагаемые: $5y^2 - 20y + 20 = 5$. Перенесем 5 в левую часть: $5y^2 - 20y + 15 = 0$. Разделим все уравнение на 5 для упрощения: $y^2 - 4y + 3 = 0$. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$. Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 5 - 2y$. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 5 - 2(1) = 3$. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 5 - 2(3) = -1$. Таким образом, мы нашли две точки пересечения.

Ответ: $(3, 1)$ и $(-1, 3)$.

4) Для нахождения точек пересечения парабол $y = 2x^2 - 3x + 1$ и $y = -x^2 + x - 1$ решим систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $2x^2 - 3x + 1 = -x^2 + x - 1$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 + x^2 - 3x - x + 1 + 1 = 0$, что дает $3x^2 - 4x + 2 = 0$. Для решения этого уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=3, b=-4, c=2$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$. Так как дискриминант $D = -8$ отрицателен, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики данных парабол не пересекаются.

Ответ: Точек пересечения нет.