Номер 89, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 10x + 20;$

2) $y = -x^2 + 3x - 4;$

3) $y = 0.6x^2 + 7.2x + 22.6;$

4) $y = -5x^2 - 20x + 6.$

Для определения направления ветвей и координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие правила:

• Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: абсцисса $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и ордината $y_0 = y(x_0)$, которая вычисляется подстановкой $x_0$ в уравнение параболы.

1) $y = x^2 - 10x + 20$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

Ордината вершины: $y_0 = (5)^2 - 10(5) + 20 = 25 - 50 + 20 = -5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(5, -5)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(5, -5)$.

2) $y = -x^2 + 3x - 4$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ордината вершины: $y_0 = -(1,5)^2 + 3(1,5) - 4 = -2,25 + 4,5 - 4 = -1,75$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1,5; -1,75)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(1,5; -1,75)$.

3) $y = 0,6x^2 + 7,2x + 22,6$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 0,6$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7,2}{2 \cdot 0,6} = -\frac{7,2}{1,2} = -6$.

Ордината вершины: $y_0 = 0,6(-6)^2 + 7,2(-6) + 22,6 = 0,6 \cdot 36 - 43,2 + 22,6 = 21,6 - 43,2 + 22,6 = 1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-6, 1)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-6, 1)$.

4) $y = -5x^2 - 20x + 6$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{-20}{-10} = -2$.

Ордината вершины: $y_0 = -5(-2)^2 - 20(-2) + 6 = -5 \cdot 4 + 40 + 6 = -20 + 40 + 6 = 26$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 26)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-2, 26)$.