Номер 88, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Постройте график функции $y = \frac{4}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{4}{x} - 5;$

2) $y = \frac{4}{x+1};$

3) $y = \frac{4}{x-1} + 2;$

4) $y = \frac{2x+4}{x};$

5) $y = \frac{2x-2}{x-3}.$

Для построения графиков заданных функций сначала построим график базовой функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX). Для более точного построения можно найти несколько точек, принадлежащих графику: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1). Все последующие графики получаются из этого базового графика с помощью геометрических преобразований (параллельных переносов).

1) $y = \frac{4}{x} - 5$;
График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его параллельного переноса на 5 единиц вниз вдоль оси OY. При этом вертикальная асимптота не изменится ($x=0$), а горизонтальная асимптота сместится на 5 единиц вниз и станет прямой $y = -5$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 5 единиц вниз.

2) $y = \frac{4}{x+1}$;
График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси OX. При этом горизонтальная асимптота не изменится ($y=0$), а вертикальная асимптота сместится на 1 единицу влево и станет прямой $x = -1$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 1 единицу влево.

3) $y = \frac{4}{x-1} + 2$;
График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем двух параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x = 1$. Горизонтальная асимптота сместится и станет прямой $y = 2$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

4) $y = \frac{2x+4}{x}$;
Для построения графика преобразуем выражение, выделив целую часть дроби: $y = \frac{2x}{x} + \frac{4}{x} = 2 + \frac{4}{x}$. Таким образом, получили функцию $y = \frac{4}{x} + 2$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота останется прежней ($x=0$), а горизонтальная асимптота сместится на 2 единицы вверх и станет прямой $y = 2$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 2 единицы вверх.

5) $y = \frac{2x-2}{x-3}$;
Для построения графика преобразуем выражение, выделив целую часть дроби. Для этого в числителе выделим выражение, стоящее в знаменателе: $2x - 2 = 2x - 6 + 4 = 2(x - 3) + 4$. Теперь подставим это в исходную функцию: $y = \frac{2(x-3) + 4}{x-3} = \frac{2(x-3)}{x-3} + \frac{4}{x-3} = 2 + \frac{4}{x-3}$. Таким образом, получили функцию $y = \frac{4}{x-3} + 2$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем двух параллельных переносов: на 3 единицы вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x = 3$. Горизонтальная асимптота сместится и станет прямой $y = 2$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.