Номер 111, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x}{|x|}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right)$;

2) $y = x^2 + 4|x| + 3$;

3) $y = x^2 - 5x\frac{|x - 2|}{x - 2} - 14$;

4) $y = x^2 - 4|x + 1| + 5x + 4$.

1) $y = \frac{x}{|x|}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right)$

Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Раскроем модуль $|x|$ для двух случаев:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right) = \frac{1}{5}x^2 - 2x + 2$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{2}{5}} = 5$. Так как $5 > 0$, вершина принадлежит рассматриваемому промежутку.
$y_v = \frac{1}{5}(5)^2 - 2(5) + 2 = 5 - 10 + 2 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(5, -3)$.
Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^+$. $y \to \frac{1}{5}(0)^2 - 2(0) + 2 = 2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, 2)$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x}{-x}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right) = -1 \cdot \left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x - 2$.
Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{5})} = \frac{2}{\frac{2}{5}} = 5$. Так как $5$ не принадлежит промежутку $x < 0$, на этом промежутке мы строим только часть параболы.
Найдем предел функции при $x \to 0^-$. $y \to -\frac{1}{5}(0)^2 + 2(0) - 2 = -2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, -2)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. При $x > 0$ это часть параболы $y = \frac{1}{5}x^2 - 2x + 2$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(5, -3)$. При $x < 0$ это часть параболы $y = -\frac{1}{5}x^2 + 2x - 2$ с ветвями вниз. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотые точки $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

2) $y = x^2 + 4|x| + 3$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 + 4|x| + 3$. Это четная функция, так как $y(-x) = |-x|^2 + 4|-x| + 3 = |x|^2 + 4|x| + 3 = y(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 4x + 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Вершина находится в точке $x = -2$, которая не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$. На этом промежутке функция является возрастающей.
Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x=0$:
$y(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3$.
Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0, 3)$ и идущую вверх.

Так как функция четная, для $x < 0$ график будет являться зеркальным отражением построенной части относительно оси Oy.

Ответ: График функции является объединением двух лучей парабол. Так как функция четная ($y(x)=y(-x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$. Это часть параболы с ветвями вверх, начинающаяся в точке $(0, 3)$. При $x < 0$ график совпадает с графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$, который симметричен первой части относительно оси Oy. Точка $(0, 3)$ является точкой минимума функции.

3) $y = x^2 - 5x\frac{|x-2|}{x-2} - 14$

Область определения функции (ОДЗ): $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Раскроем модуль $|x-2|$ для двух случаев:

а) Если $x > 2$, то $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5x\frac{x-2}{x-2} - 14 = x^2 - 5x - 14$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$. Вершина принадлежит промежутку $x > 2$.
$y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) - 14 = 6.25 - 12.5 - 14 = -20.25$.
Вершина находится в точке $(2.5, -20.25)$.
На границе, при $x \to 2^+$, $y \to 2^2 - 5(2) - 14 = 4 - 10 - 14 = -20$. На графике будет выколотая точка $(2, -20)$.

б) Если $x < 2$, то $|x-2| = -(x-2)$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5x\frac{-(x-2)}{x-2} - 14 = x^2 + 5x - 14$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$. Вершина принадлежит промежутку $x < 2$.
$y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 14 = 6.25 - 12.5 - 14 = -20.25$.
Вершина находится в точке $(-2.5, -20.25)$.
На границе, при $x \to 2^-$, $y \to 2^2 + 5(2) - 14 = 4 + 10 - 14 = 0$. На графике будет выколотая точка $(2, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, разделенных вертикальной прямой $x=2$, в которой функция не определена. При $x > 2$ график является частью параболы $y = x^2 - 5x - 14$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(2.5, -20.25)$, с выколотой точкой $(2, -20)$. При $x < 2$ график является частью параболы $y = x^2 + 5x - 14$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(-2.5, -20.25)$, с выколотой точкой $(2, 0)$.

4) $y = x^2 - 4|x+1| + 5x + 4$

Раскроем модуль $|x+1|$, рассмотрев два случая:

а) Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $|x+1| = x+1$.
$y = x^2 - 4(x+1) + 5x + 4 = x^2 - 4x - 4 + 5x + 4 = x^2 + x$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Вершина принадлежит промежутку $x \ge -1$.
$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Вершина находится в точке $(-0.5, -0.25)$.
В точке "стыка" $x=-1$, $y = (-1)^2 + (-1) = 0$.

б) Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1)$.
$y = x^2 - 4(-(x+1)) + 5x + 4 = x^2 + 4(x+1) + 5x + 4 = x^2 + 4x + 4 + 5x + 4 = x^2 + 9x + 8$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{9}{2 \cdot 1} = -4.5$. Вершина принадлежит промежутку $x < -1$.
$y_v = (-4.5)^2 + 9(-4.5) + 8 = 20.25 - 40.5 + 8 = -12.25$.
Вершина находится в точке $(-4.5, -12.25)$.
В точке "стыка" $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 + 9(-1) + 8 = 1 - 9 + 8 = 0$.

Значения функции в точке $x=-1$ для обоих случаев совпадают, следовательно, функция непрерывна. График состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке $(-1, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(-1, 0)$. При $x \ge -1$ график совпадает с параболой $y = x^2 + x$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(-0.5, -0.25)$. При $x < -1$ график совпадает с параболой $y = x^2 + 9x + 8$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(-4.5, -12.25)$. Функция непрерывна, но в точке $x=-1$ график имеет излом.