Номер 25, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите неравенство:

1) $5 - 2(x - 1) > 4 - x$

2) $0,2(7 - 2y) \le 2,3 - 0,3(y - 6)$

3) $\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}\right) \ge 4x + 2\frac{1}{2}$

4) $x(4x + 1) - 7(x^2 - 2x) < 3x(8 - x) + 6$

5) $\frac{x - 4}{3} - \frac{x}{2} > 5$

6) $\frac{x + 14}{6} - \frac{x - 12}{8} \le 3$

7) $\frac{7x - 4}{9} - \frac{3x + 3}{4} > \frac{8 - x}{6}$

8) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) \le 5x$

9) $(4x - 1)^2 - (2x - 3)(6x + 5) > 4(x - 2)^2 + 15x$

10) $2x(3 + 8x) - (4x - 3)(4x + 3) \ge 1,5x$

1) $5 - 2(x - 1) > 4 - x$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5 - 2x + 2 > 4 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$7 - 2x > 4 - x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:
$7 - 4 > -x + 2x$
$3 > x$
Это эквивалентно $x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

2) $0,2(7 - 2y) \le 2,3 - 0,3(y - 6)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$1,4 - 0,4y \le 2,3 - 0,3y + 1,8$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$1,4 - 0,4y \le 4,1 - 0,3y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены - в левую:
$1,4 - 4,1 \le -0,3y + 0,4y$
$-2,7 \le 0,1y$
Разделим обе части на $0,1$:
$-27 \le y$
Это эквивалентно $y \ge -27$.
Ответ: $y \in [-27; +\infty)$.

3) $\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) \ge 4x + 2\frac{1}{2}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
$\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) \ge 4x + \frac{5}{2}$
Раскроем скобки в левой части:
$\frac{2}{9}x - \frac{1}{3} \ge 4x + \frac{5}{2}$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (9, 3, 2), то есть на 18, чтобы избавиться от дробей:
$18 \cdot (\frac{2}{9}x) - 18 \cdot (\frac{1}{3}) \ge 18 \cdot (4x) + 18 \cdot (\frac{5}{2})$
$4x - 6 \ge 72x + 45$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$-6 - 45 \ge 72x - 4x$
$-51 \ge 68x$
Разделим обе части на 68. Так как 68 - положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{-51}{68} \ge x$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 17:
$-\frac{3}{4} \ge x$
Это эквивалентно $x \le -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,75]$.

4) $x(4x + 1) - 7(x^2 - 2x) < 3x(8 - x) + 6$
Раскроем все скобки:
$4x^2 + x - 7x^2 + 14x < 24x - 3x^2 + 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3x^2 + 15x < 24x - 3x^2 + 6$
Прибавим $3x^2$ к обеим частям неравенства:
$15x < 24x + 6$
Перенесем слагаемое $24x$ в левую часть:
$15x - 24x < 6$
$-9x < 6$
Разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{6}{-9}$
$x > -\frac{2}{3}$
Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; +\infty)$.

5) $\frac{x - 4}{3} - \frac{x}{2} > 5$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 2), то есть на 6:
$6 \cdot \frac{x - 4}{3} - 6 \cdot \frac{x}{2} > 6 \cdot 5$
$2(x - 4) - 3x > 30$
Раскроем скобки:
$2x - 8 - 3x > 30$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x - 8 > 30$
Прибавим 8 к обеим частям:
$-x > 38$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -38$
Ответ: $x \in (-\infty; -38)$.

6) $\frac{x + 14}{6} - \frac{x - 12}{8} \le 3$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 8), то есть на 24:
$24 \cdot \frac{x + 14}{6} - 24 \cdot \frac{x - 12}{8} \le 24 \cdot 3$
$4(x + 14) - 3(x - 12) \le 72$
Раскроем скобки:
$4x + 56 - 3x + 36 \le 72$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x + 92 \le 72$
Вычтем 92 из обеих частей:
$x \le 72 - 92$
$x \le -20$
Ответ: $x \in (-\infty; -20]$.

7) $\frac{7x - 4}{9} - \frac{3x + 3}{4} > \frac{8 - x}{6}$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (9, 4, 6), то есть на 36:
$36 \cdot \frac{7x - 4}{9} - 36 \cdot \frac{3x + 3}{4} > 36 \cdot \frac{8 - x}{6}$
$4(7x - 4) - 9(3x + 3) > 6(8 - x)$
Раскроем скобки:
$28x - 16 - 27x - 27 > 48 - 6x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 43 > 48 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$x + 6x > 48 + 43$
$7x > 91$
Разделим обе части на 7:
$x > 13$
Ответ: $x \in (13; +\infty)$.

8) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) \le 5x$
Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(x^2 - x + 6x - 6) - (x^2 - 4x + 3x - 12) \le 5x$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(x^2 + 5x - 6) - (x^2 - x - 12) \le 5x$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:
$x^2 + 5x - 6 - x^2 + x + 12 \le 5x$
Приведем подобные слагаемые в левой части ($x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются):
$6x + 6 \le 5x$
Перенесем $5x$ в левую часть, а 6 в правую:
$6x - 5x \le -6$
$x \le -6$
Ответ: $x \in (-\infty; -6]$.

9) $(4x - 1)^2 - (2x - 3)(6x + 5) > 4(x - 2)^2 + 15x$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов:
$(16x^2 - 8x + 1) - (12x^2 + 10x - 18x - 15) > 4(x^2 - 4x + 4) + 15x$
Упростим выражения в скобках:
$(16x^2 - 8x + 1) - (12x^2 - 8x - 15) > 4x^2 - 16x + 16 + 15x$
Раскроем скобки в левой части и приведем подобные в правой:
$16x^2 - 8x + 1 - 12x^2 + 8x + 15 > 4x^2 - x + 16$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x^2 + 16 > 4x^2 - x + 16$
Вычтем $4x^2$ и 16 из обеих частей неравенства:
$0 > -x$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$0 < x$
Это эквивалентно $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

10) $2x(3 + 8x) - (4x - 3)(4x + 3) \ge 1,5x$
Раскроем скобки. Второе слагаемое является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$6x + 16x^2 - ((4x)^2 - 3^2) \ge 1,5x$
$6x + 16x^2 - (16x^2 - 9) \ge 1,5x$
$6x + 16x^2 - 16x^2 + 9 \ge 1,5x$
Приведем подобные слагаемые в левой части ($16x^2$ и $-16x^2$ взаимно уничтожаются):
$6x + 9 \ge 1,5x$
Перенесем $1,5x$ в левую часть, а 9 в правую:
$6x - 1,5x \ge -9$
$4,5x \ge -9$
Разделим обе части на 4,5:
$x \ge \frac{-9}{4,5}$
$x \ge -2$
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.