Номер 27, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Решите неравенство:

1) $3x + 6 > 2(2x - 7) - x;$

2) $6,2(3 - 2x) \ge 20 - (12,4x + 1,4);$

3) $6x + (x - 2)(x + 2) \ge (x + 3)^2;$

4) $2x(x - 4) - (2x + 5)(x - 10) < 2(3,5x + 50).$

1)

Решим неравенство $3x + 6 > 2(2x - 7) - x$.

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:

$3x + 6 > 4x - 14 - x$

Далее приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x + 6 > 3x - 14$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства:

$3x - 3x > -14 - 6$

$0 \cdot x > -20$

Мы получили верное числовое неравенство $0 > -20$, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $6,2(3 - 2x) \geq 20 - (12,4x + 1,4)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$18,6 - 12,4x \geq 20 - 12,4x - 1,4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$18,6 - 12,4x \geq 18,6 - 12,4x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$-12,4x + 12,4x \geq 18,6 - 18,6$

$0 \cdot x \geq 0$

Полученное неравенство $0 \geq 0$ является верным и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $6x + (x - 2)(x + 2) \geq (x + 3)^2$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим формулы:

$6x + (x^2 - 4) \geq x^2 + 6x + 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные:

$6x + x^2 - 4 - x^2 - 6x - 9 \geq 0$

$(x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (-4 - 9) \geq 0$

$-13 \geq 0$

В результате мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений, или $x \in \emptyset$.

4)

Решим неравенство $2x(x - 4) - (2x + 5)(x - 10) < 2(3,5x + 50)$.

Сначала раскроем все скобки в неравенстве.

$2x(x - 4) = 2x^2 - 8x$

$(2x + 5)(x - 10) = 2x^2 - 20x + 5x - 50 = 2x^2 - 15x - 50$

$2(3,5x + 50) = 7x + 100$

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$(2x^2 - 8x) - (2x^2 - 15x - 50) < 7x + 100$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$2x^2 - 8x - 2x^2 + 15x + 50 < 7x + 100$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x^2 - 2x^2) + (-8x + 15x) + 50 < 7x + 100$

$7x + 50 < 7x + 100$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$7x - 7x < 100 - 50$

$0 \cdot x < 50$

Получили верное числовое неравенство $0 < 50$. Так как оно не зависит от переменной $x$, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.