Номер 28, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{4x-3}$;

2) $\sqrt{5-11x}$;

3) $\frac{7}{\sqrt{4x+16}}$;

4) $\sqrt{x+5} + \frac{1}{x-3}$;

5) $\sqrt{8-16x} + \frac{5}{x^2-4}$;

6) $\frac{10}{\sqrt{3x+36}} + \frac{9}{|x|-1}$?

1) Выражение $\sqrt{4x-3}$ имеет смысл (определено), когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Решим неравенство:
$4x - 3 \ge 0$
$4x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{4}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $[\frac{3}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{3}{4}; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{5-11x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Решим неравенство:
$5 - 11x \ge 0$
$5 \ge 11x$
$x \le \frac{5}{11}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $(-\infty; \frac{5}{11}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{11}]$.

3) Выражение $\frac{7}{\sqrt{4x+16}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно, и знаменатель не равен нулю. Поскольку корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Решим строгое неравенство:
$4x + 16 > 0$
$4x > -16$
$x > -4$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $(-4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{x+5} + \frac{1}{x-3}$ является суммой двух слагаемых и имеет смысл, когда каждое из них имеет смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{x+5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$
2. Для слагаемого $\frac{1}{x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$
Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \ge -5$ и $x \ne 3$.
Это соответствует объединению промежутков $[-5; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-5; 3) \cup (3; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{8-16x} + \frac{5}{x^2-4}$ имеет смысл, когда каждое из слагаемых имеет смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{8-16x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$8-16x \ge 0 \implies 8 \ge 16x \implies x \le \frac{8}{16} \implies x \le \frac{1}{2}$
2. Для слагаемого $\frac{5}{x^2-4}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2-4 \ne 0 \implies x^2 \ne 4 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Объединим условия: $x \le \frac{1}{2}$, $x \ne 2$ и $x \ne -2$. Условие $x \ne 2$ автоматически выполняется, так как $x \le \frac{1}{2}$. Остается учесть, что $x \ne -2$.
Таким образом, $x$ принадлежит объединению промежутков $(-\infty; -2) \cup (-2; \frac{1}{2}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; \frac{1}{2}]$.

6) Выражение $\frac{10}{\sqrt{3x+36}} + \frac{9}{|x|-1}$ имеет смысл, когда каждое из слагаемых имеет смысл.
1. Для слагаемого $\frac{10}{\sqrt{3x+36}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$3x+36 > 0 \implies 3x > -36 \implies x > -12$
2. Для слагаемого $\frac{9}{|x|-1}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$|x|-1 \ne 0 \implies |x| \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Объединим все условия: $x > -12$, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Это соответствует объединению промежутков $(-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.