Номер 26, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $2x + 9 > 4x - 7;$

2) $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14;$

3) $(3x + 2)^2 - (9x - 1)(x + 1) \ge 17;$

4) $(x - 1)(x + 1) < 2(x - 5)^2 - x(x - 3).$

1) Решим неравенство $2x + 9 > 4x - 7$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую:
$9 + 7 > 4x - 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$16 > 2x$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:
$8 > x$, что эквивалентно $x < 8$.
Множество целых решений этого неравенства: $\{..., 5, 6, 7\}$. Наибольшим целым решением является 7.
Ответ: 7

2) Решим неравенство $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14$.
Сначала раскроем скобки в произведении многочленов:
$(2x - 3)(7x + 4) = 2x \cdot 7x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot 7x - 3 \cdot 4 = 14x^2 + 8x - 21x - 12 = 14x^2 - 13x - 12$.
Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$14x^2 - (14x^2 - 13x - 12) \le 14$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$14x^2 - 14x^2 + 13x + 12 \le 14$
Приведем подобные слагаемые:
$13x + 12 \le 14$
Перенесем 12 в правую часть с противоположным знаком:
$13x \le 14 - 12$
$13x \le 2$
Разделим обе части неравенства на 13:
$x \le \frac{2}{13}$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это ..., -2, -1, 0. Наибольшим из них является 0.
Ответ: 0

3) Решим неравенство $(3x + 2)^2 - (9x - 1)(x + 1) \ge 17$.
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$.
Для второго слагаемого перемножим многочлены:
$(9x - 1)(x + 1) = 9x \cdot x + 9x \cdot 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot 1 = 9x^2 + 9x - x - 1 = 9x^2 + 8x - 1$.
Подставим полученные выражения в неравенство:
$(9x^2 + 12x + 4) - (9x^2 + 8x - 1) \ge 17$
Раскроем вторые скобки:
$9x^2 + 12x + 4 - 9x^2 - 8x + 1 \ge 17$
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) + (12x - 8x) + (4 + 1) \ge 17$
$4x + 5 \ge 17$
Перенесем 5 в правую часть:
$4x \ge 17 - 5$
$4x \ge 12$
Разделим обе части на 4:
$x \ge 3$.
Решением неравенства является множество всех чисел, больших или равных 3, то есть промежуток $[3, +\infty)$. Множество целых решений: $\{3, 4, 5, 6, ...\}$. Это множество не ограничено сверху, поэтому наибольшего целого решения не существует.
Ответ: наибольшего целого решения не существует.

4) Решим неравенство $(x - 1)(x + 1) < 2(x - 5)^2 - x(x - 3)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
В правой части раскроем квадрат разности $(x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$, а также произведение $x(x-3) = x^2 - 3x$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$x^2 - 1 < 2(x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 3x)$
$x^2 - 1 < 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 - 1 < (2x^2 - x^2) + (-20x + 3x) + 50$
$x^2 - 1 < x^2 - 17x + 50$
Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства, от этого знак неравенства не изменится:
$-1 < -17x + 50$
Перенесем слагаемое $-17x$ в левую часть, а $-1$ в правую, изменив их знаки:
$17x < 50 + 1$
$17x < 51$
Разделим обе части на 17:
$x < \frac{51}{17}$
$x < 3$.
Множество целых решений этого неравенства: $\{..., 0, 1, 2\}$. Наибольшим целым решением является 2.
Ответ: 2