Номер 18, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Какие из чисел $-5; 4; -6; 0; \frac{1}{3}$ являются решениями неравенства:

1) $x > \frac{1}{3};$

2) $x \le 4;$

3) $2x > x + 1;$

4) $x^2 - 4 \le 0;$

5) $\sqrt{x + 1} > 2;$

6) $\frac{1}{x} < 2?$

Для того чтобы определить, какие из чисел -5; 4; -6; 0; $\frac{1}{3}$ являются решениями неравенств, подставим каждое из них в соответствующее неравенство и проверим, выполняется ли оно.

1) $x > \frac{1}{3}$

Проверим каждое число:

• При $x = -5$: $-5 > \frac{1}{3}$ - неверно.
• При $x = 4$: $4 > \frac{1}{3}$ - верно, так как $4 = \frac{12}{3}$, а $\frac{12}{3} > \frac{1}{3}$.
• При $x = -6$: $-6 > \frac{1}{3}$ - неверно.
• При $x = 0$: $0 > \frac{1}{3}$ - неверно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > \frac{1}{3}$ - неверно (числа равны, а неравенство строгое).

Ответ: 4.

2) $x \le 4$

Проверим каждое число:

• При $x = -5$: $-5 \le 4$ - верно.
• При $x = 4$: $4 \le 4$ - верно.
• При $x = -6$: $-6 \le 4$ - верно.
• При $x = 0$: $0 \le 4$ - верно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \le 4$ - верно.

Ответ: -5; 4; -6; 0; $\frac{1}{3}$.

3) $2x > x + 1$

Сначала упростим неравенство, перенеся $x$ в левую часть:

$2x - x > 1$

$x > 1$

Теперь выберем из предложенного списка числа, которые больше 1.

• $-5 > 1$ - неверно.
• $4 > 1$ - верно.
• $-6 > 1$ - неверно.
• $0 > 1$ - неверно.
• $\frac{1}{3} > 1$ - неверно.

Ответ: 4.

4) $x^2 - 4 \le 0$

Проверим каждое число путем подстановки:

• При $x = -5$: $(-5)^2 - 4 = 25 - 4 = 21$. Неравенство $21 \le 0$ неверно.
• При $x = 4$: $4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$. Неравенство $12 \le 0$ неверно.
• При $x = -6$: $(-6)^2 - 4 = 36 - 4 = 32$. Неравенство $32 \le 0$ неверно.
• При $x = 0$: $0^2 - 4 = -4$. Неравенство $-4 \le 0$ верно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $(\frac{1}{3})^2 - 4 = \frac{1}{9} - 4 = \frac{1}{9} - \frac{36}{9} = -\frac{35}{9}$. Неравенство $-\frac{35}{9} \le 0$ верно.

Ответ: 0; $\frac{1}{3}$.

5) $\sqrt{x + 1} > 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Числа -5 и -6 не входят в ОДЗ, значит они не могут быть решениями. Проверим остальные числа:

• При $x = 4$: $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. Неравенство $\sqrt{5} > 2$ верно, так как если возвести обе части в квадрат, получим $5 > 4$.
• При $x = 0$: $\sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1$. Неравенство $1 > 2$ неверно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}}$. Неравенство $\sqrt{\frac{4}{3}} > 2$ неверно, так как $\frac{4}{3} < 4$.

Ответ: 4.

6) $\frac{1}{x} < 2$

Проверим каждое число. Заметим, что $x=0$ не может быть решением, так как на ноль делить нельзя.

• При $x = -5$: $\frac{1}{-5} = -0.2$. Неравенство $-0.2 < 2$ верно.
• При $x = 4$: $\frac{1}{4} = 0.25$. Неравенство $0.25 < 2$ верно.
• При $x = -6$: $\frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$. Любое отрицательное число меньше 2. Неравенство $-\frac{1}{6} < 2$ верно.
• При $x = 0$: Выражение не определено.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{1/3} = 3$. Неравенство $3 < 2$ неверно.

Ответ: -5; 4; -6.