Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_{10} = 9b_8$ и $b_3 + b_6 = 168$;

2) $b_2 + b_5 = 56$ и $b_3 - b_4 + b_5 = 14$.

1)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Используем первое условие $b_{10} = 9b_8$:

$b_1 q^{10-1} = 9 \cdot b_1 q^{8-1}$

$b_1 q^9 = 9 b_1 q^7$

Так как по условию существуют члены прогрессии с номерами 3, 6, 8, 10, то прогрессия не является тривиальной, а значит $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 q^7$:

$q^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = 3$ и $q_2 = -3$.

Теперь используем второе условие $b_3 + b_6 = 168$:

$b_1 q^{3-1} + b_1 q^{6-1} = 168$

$b_1 q^2 + b_1 q^5 = 168$

$b_1(q^2 + q^5) = 168$

Рассмотрим каждый из двух возможных случаев для $q$.

Случай 1: $q = 3$

Подставим значение $q=3$ в полученное уравнение:

$b_1(3^2 + 3^5) = 168$

$b_1(9 + 243) = 168$

$252 b_1 = 168$

$b_1 = \frac{168}{252} = \frac{2 \cdot 84}{3 \cdot 84} = \frac{2}{3}$

Случай 2: $q = -3$

Подставим значение $q=-3$ в то же уравнение:

$b_1((-3)^2 + (-3)^5) = 168$

$b_1(9 - 243) = 168$

$b_1(-234) = 168$

$b_1 = -\frac{168}{234} = -\frac{28 \cdot 6}{39 \cdot 6} = -\frac{28}{39}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = 2/3, q = 3$ или $b_1 = -28/39, q = -3$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} b_2 + b_5 = 56 \\ b_3 - b_4 + b_5 = 14 \end{cases}$

Используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему, выразив члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1q + b_1q^4 = 56 \\ b_1q^2 - b_1q^3 + b_1q^4 = 14 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(1 + q^3) = 56 \\ b_1q^2(1 - q + q^2) = 14 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, то $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{b_1q(1 + q^3)}{b_1q^2(1 - q + q^2)} = \frac{56}{14}$

Сократим дробь и упростим правую часть:

$\frac{1 + q^3}{q(1 - q + q^2)} = 4$

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению в числителе:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1-q+q^2)} = 4$

Выражение $1-q+q^2$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $q$ (дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен), поэтому на него можно сократить:

$\frac{1+q}{q} = 4$

Решим полученное уравнение:

$1+q = 4q$

$3q = 1$

$q = \frac{1}{3}$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q$ во второе уравнение системы $b_1q^2(1 - q + q^2) = 14$:

$b_1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = 14$

$b_1 \cdot \frac{1}{9} \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = 14$

$b_1 \cdot \frac{1}{9} \left(\frac{9-3+1}{9}\right) = 14$

$b_1 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{7}{9} = 14$

$b_1 \cdot \frac{7}{81} = 14$

$b_1 = \frac{14 \cdot 81}{7} = 2 \cdot 81 = 162$

Ответ: $b_1 = 162, q = 1/3$.

228. Какие три числа надо вставить между числами 16 и 81, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть $(b_n)$ – искомая геометрическая прогрессия. По условию, ее первый член $b_1 = 16$. Между числами 16 и 81 нужно вставить три числа, которые будут являться вторым, третьим и четвертым членами прогрессии ($b_2$, $b_3$, $b_4$). Тогда число 81 будет пятым членом прогрессии, то есть $b_5 = 81$. Всего в прогрессии 5 членов.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения для $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$81 = 16 \cdot q^4$

Выразим $q^4$ из этого уравнения:

$q^4 = \frac{81}{16}$

Данное уравнение имеет два действительных корня для $q$:

$q = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$

$q = -\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = \frac{3}{2}$

Найдем три искомых числа, последовательно умножая каждый член прогрессии на знаменатель $q$, начиная с $b_1$.

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$

$b_3 = b_2 \cdot q = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36$

$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54$

Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot \frac{3}{2} = 81$. Верно.

Таким образом, первый набор чисел: 24, 36, 54.

Случай 2: $q = -\frac{3}{2}$

Найдем три искомых числа для этого значения знаменателя.

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot (-\frac{3}{2}) = -24$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-24) \cdot (-\frac{3}{2}) = 36$

$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot (-\frac{3}{2}) = -54$

Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = (-54) \cdot (-\frac{3}{2}) = 81$. Верно.

Таким образом, второй набор чисел: -24, 36, -54.

Ответ: 24, 36, 54 или -24, 36, -54.

229. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 1$, $x + 2$ и $8 - x$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три выражения $2x + 1$, $x + 2$ и $8 - x$ были последовательными членами геометрической прогрессии (обозначим их как $b_1, b_2, b_3$), должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в это равенство:

$(x + 2)^2 = (2x + 1)(8 - x)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 16x - 2x^2 + 8 - x$

$x^2 + 4x + 4 = -2x^2 + 15x + 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x^2 + 4x - 15x + 4 - 8 = 0$

$3x^2 - 11x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Мы получили два возможных значения $x$. Теперь для каждого из них найдем соответствующие члены прогрессии.

При $x = 4$

Подставим значение $x = 4$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:
Первый член: $b_1 = 2(4) + 1 = 9$.
Второй член: $b_2 = 4 + 2 = 6$.
Третий член: $b_3 = 8 - 4 = 4$.
Таким образом, при $x=4$ получаем геометрическую прогрессию 9, 6, 4 со знаменателем $q = 2/3$.

При $x = -\frac{1}{3}$

Подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ в исходные выражения:
Первый член: $b_1 = 2(-\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
Второй член: $b_2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$.
Третий член: $b_3 = 8 - (-\frac{1}{3}) = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$.
Таким образом, при $x = -\frac{1}{3}$ получаем геометрическую прогрессию $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{25}{3}$ со знаменателем $q=5$.

Ответ: Задача имеет два решения: при $x = 4$ члены прогрессии равны 9, 6, 4; при $x = -\frac{1}{3}$ члены прогрессии равны $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{25}{3}$.

230. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Для удобства решения представим их в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих трёх чисел равна 90. Составим и решим уравнение: $(a-d) + a + (a+d) = 90$, откуда $3a = 90$ и $a = 30$. Значит, среднее число равно 30, и члены арифметической прогрессии можно записать как $30-d$, $30$, $30+d$.

Далее, из этих чисел вычитают соответственно 7, 18 и 2. Полученные числа $b_1 = (30-d) - 7 = 23-d$, $b_2 = 30 - 18 = 12$ и $b_3 = (30+d) - 2 = 28+d$ образуют геометрическую прогрессию.

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим полученные выражения: $12^2 = (23-d)(28+d)$, что приводит к уравнению $144 = 644 - 5d - d^2$.

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $d^2 + 5d - 500 = 0$ и решим его. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025 = 45^2$. Корни уравнения: $d_1 = \frac{-5 + 45}{2} = 20$ и $d_2 = \frac{-5 - 45}{2} = -25$.

Мы получили два возможных значения для разности арифметической прогрессии. Теперь найдем исходные числа для каждого случая.

Случай 1: $d = 20$.
Искомые числа: $30-20=10$, $30$, $30+20=50$.
Проверка: сумма $10+30+50=90$. Новые числа $10-7=3$, $30-18=12$, $50-2=48$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=4$. Решение верное.

Случай 2: $d = -25$.
Искомые числа: $30-(-25)=55$, $30$, $30+(-25)=5$.
Проверка: сумма $55+30+5=90$. Новые числа $55-7=48$, $30-18=12$, $5-2=3$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/4$. Решение верное.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 10, 30, 50 или 55, 30, 5.

231. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $ (b_n) $, если $ b_1 = \frac{1}{216} $, а знаменатель $ q = 6 $.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию задачи нам даны следующие значения:

- первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{216}$;

- знаменатель прогрессии $q = 6$;

- количество членов для нахождения суммы $n = 4$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы первых четырёх членов ($S_4$):

$S_4 = \frac{\frac{1}{216}(6^4 - 1)}{6 - 1}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Сначала вычислим значение в знаменателе:

$6 - 1 = 5$

2. Теперь вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$6^4 - 1 = (6^2)^2 - 1 = 36^2 - 1 = 1296 - 1 = 1295$

3. Подставим полученные значения обратно в формулу:

$S_4 = \frac{\frac{1}{216} \cdot 1295}{5}$

4. Упростим полученное выражение:

$S_4 = \frac{1295}{216 \cdot 5}$

Сократим дробь на 5, разделив числитель на 5:

$1295 \div 5 = 259$

В результате получаем:

$S_4 = \frac{259}{216}$

Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа:

$\frac{259}{216} = 1 \frac{43}{216}$

Ответ: $\frac{259}{216}$

232. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 162, 108, 72, . . .

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из условия задачи видно, что первый член прогрессии $b_1 = 162$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{108}{162}$

Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 108 и 162 равен 54.

$q = \frac{108 \div 54}{162 \div 54} = \frac{2}{3}$

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{3}$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n = 5$. Подставим известные значения в формулу:

$S_5 = \frac{162 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^5)}{1 - \frac{2}{3}}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{162 \cdot (1 - \frac{32}{243})}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{162 \cdot (\frac{243-32}{243})}{\frac{1}{3}} = \frac{162 \cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Для упрощения выражения, умножим числитель на перевернутый знаменатель (то есть на 3):

$S_5 = 162 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3$

Сократим 243 и 3:

$S_5 = 162 \cdot \frac{211}{81}$

Теперь сократим 162 и 81 (так как $162 = 2 \cdot 81$):

$S_5 = 2 \cdot 211 = 422$

Ответ: 422

233. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_4 = 125, q = 2,5$;

2) $b_1 = \sqrt{5}, b_5 = 25\sqrt{5}, q < 0$;

3) $b_4 = 10, b_7 = 10000$.

Для нахождения суммы первых четырех членов геометрической прогрессии $S_4$ воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и, при необходимости, формулой суммы первых n членов $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. В данной задаче проще всего найти первые четыре члена и сложить их.

1) $b_4 = 125, q = 2,5$;

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Из формулы n-го члена имеем: $b_4 = b_1 \cdot q^{3}$.

Подставим известные значения: $125 = b_1 \cdot (2,5)^3$.

Так как $2,5 = \frac{5}{2}$, то $(2,5)^3 = (\frac{5}{2})^3 = \frac{125}{8}$.

Уравнение принимает вид: $125 = b_1 \cdot \frac{125}{8}$.

Отсюда находим, что $b_1 = 8$.

Теперь вычислим первые четыре члена прогрессии:

$b_1 = 8$

$b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot 2,5 = 20$

$b_3 = b_2 \cdot q = 20 \cdot 2,5 = 50$

$b_4 = b_3 \cdot q = 50 \cdot 2,5 = 125$

Сумма первых четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 8 + 20 + 50 + 125 = 203$.

Ответ: 203.

2) $b_1 = \sqrt{5}, b_5 = 25\sqrt{5}, q < 0$;

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу n-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$.

Подставим известные значения: $25\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot q^4$.

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{5}$, получим $q^4 = 25$.

Действительными корнями этого уравнения являются $q = \sqrt[4]{25} = \sqrt{5}$ и $q = -\sqrt[4]{25} = -\sqrt{5}$. Согласно условию задачи $q < 0$, следовательно, мы выбираем $q = -\sqrt{5}$.

Теперь найдем сумму первых четырех членов, вычислив их поочередно:

$b_1 = \sqrt{5}$

$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = -5$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-5) \cdot (-\sqrt{5}) = 5\sqrt{5}$

$b_4 = b_3 \cdot q = 5\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = -25$

Сумма первых четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = \sqrt{5} - 5 + 5\sqrt{5} - 25 = 6\sqrt{5} - 30$.

Ответ: $6\sqrt{5} - 30$.

3) $b_4 = 10, b_7 = 10 000$.

Найдем знаменатель $q$, используя соотношение $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. В нашем случае: $b_7 = b_4 \cdot q^{7-4} = b_4 \cdot q^3$.

Подставим известные значения: $10 000 = 10 \cdot q^3$.

Отсюда $q^3 = \frac{10000}{10} = 1000$, значит $q = \sqrt[3]{1000} = 10$.

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$.

$10 = b_1 \cdot 10^3$, или $10 = b_1 \cdot 1000$.

Отсюда $b_1 = \frac{10}{1000} = 0,01$.

Вычислим первые четыре члена прогрессии и их сумму:

$b_1 = 0,01$

$b_2 = b_1 \cdot q = 0,01 \cdot 10 = 0,1$

$b_3 = b_2 \cdot q = 0,1 \cdot 10 = 1$

$b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot 10 = 10$

Сумма первых четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 0,01 + 0,1 + 1 + 10 = 11,11$.

Ответ: 11,11.

234. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 7 \cdot 2^{2n - 1}$. Найдите сумму четырёх первых её членов.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 7 \cdot 2^{2n-1}$. Чтобы найти сумму четырех первых её членов, $S_4$, можно либо вычислить каждый из четырех членов и сложить их, либо использовать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Воспользуемся вторым способом.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$b_1 = 7 \cdot 2^{2 \cdot 1 - 1} = 7 \cdot 2^1 = 14$.

Теперь найдем второй член прогрессии $b_2$, подставив $n=2$, чтобы определить знаменатель $q$:
$b_2 = 7 \cdot 2^{2 \cdot 2 - 1} = 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{56}{14} = 4$.

Теперь, когда известны $b_1 = 14$, $q = 4$ и количество членов $n = 4$, можем вычислить сумму:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q-1} = \frac{14 \cdot (4^4 - 1)}{4 - 1}$.

Выполним вычисления:
$4^4 = 256$.
$S_4 = \frac{14 \cdot (256 - 1)}{3} = \frac{14 \cdot 255}{3}$.

Сократим дробь, разделив 255 на 3:
$S_4 = 14 \cdot 85 = 1190$.

Ответ: 1190.

235. Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $ \frac{1}{5} $, а сумма четырёх первых членов равна 156.

Пусть $b_1$ — искомый первый член геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи нам дано:

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$.

Сумма первых четырёх членов $S_4 = 156$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим в эту формулу известные нам значения $n=4$, $q = \frac{1}{5}$ и $S_4 = 156$:

$156 = \frac{b_1(1 - (\frac{1}{5})^4)}{1 - \frac{1}{5}}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $b_1$.

1. Вычислим значение знаменателя дроби:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

2. Вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$1 - (\frac{1}{5})^4 = 1 - \frac{1^4}{5^4} = 1 - \frac{1}{625} = \frac{625}{625} - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

3. Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$156 = \frac{b_1 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{4}{5}}$

4. Упростим правую часть уравнения:

$\frac{b_1 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{4}{5}} = b_1 \cdot \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{4} = b_1 \cdot \frac{624 \cdot 5}{625 \cdot 4}$

Сократим дробь:

$b_1 \cdot \frac{156 \cdot 4 \cdot 5}{125 \cdot 5 \cdot 4} = b_1 \cdot \frac{156}{125}$

5. Теперь уравнение выглядит так:

$156 = b_1 \cdot \frac{156}{125}$

6. Выразим $b_1$:

$b_1 = 156 \div \frac{156}{125} = 156 \cdot \frac{125}{156} = 125$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 125.

Ответ: 125

236. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии $(y_n)$, если $y_1 = 6$, знаменатель $q = 4$, а сумма всех членов $S_n = 2046$.

Для нахождения количества членов конечной геометрической прогрессии ($n$) используется формула суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{y_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В эту формулу подставим известные данные из условия задачи:

• Сумма всех членов $S_n = 2046$
• Первый член прогрессии $y_1 = 6$
• Знаменатель прогрессии $q = 4$

Подставляем значения и получаем уравнение:

$2046 = \frac{6(4^n - 1)}{4 - 1}$

Решим это уравнение относительно $n$. Сначала упростим знаменатель дроби:

$2046 = \frac{6(4^n - 1)}{3}$

Сократим дробь в правой части уравнения:

$2046 = 2 \cdot (4^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{2046}{2} = 4^n - 1$

$1023 = 4^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак:

$1023 + 1 = 4^n$

$1024 = 4^n$

Чтобы найти $n$, представим число 1024 в виде степени с основанием 4.

$4^1 = 4$

$4^2 = 16$

$4^3 = 64$

$4^4 = 256$

$4^5 = 1024$

Таким образом, мы можем записать уравнение в виде:

$4^5 = 4^n$

Из этого следует, что $n=5$.

Ответ: 5.