Номер 230, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Для удобства решения представим их в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих трёх чисел равна 90. Составим и решим уравнение: $(a-d) + a + (a+d) = 90$, откуда $3a = 90$ и $a = 30$. Значит, среднее число равно 30, и члены арифметической прогрессии можно записать как $30-d$, $30$, $30+d$.

Далее, из этих чисел вычитают соответственно 7, 18 и 2. Полученные числа $b_1 = (30-d) - 7 = 23-d$, $b_2 = 30 - 18 = 12$ и $b_3 = (30+d) - 2 = 28+d$ образуют геометрическую прогрессию.

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим полученные выражения: $12^2 = (23-d)(28+d)$, что приводит к уравнению $144 = 644 - 5d - d^2$.

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $d^2 + 5d - 500 = 0$ и решим его. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025 = 45^2$. Корни уравнения: $d_1 = \frac{-5 + 45}{2} = 20$ и $d_2 = \frac{-5 - 45}{2} = -25$.

Мы получили два возможных значения для разности арифметической прогрессии. Теперь найдем исходные числа для каждого случая.

Случай 1: $d = 20$.
Искомые числа: $30-20=10$, $30$, $30+20=50$.
Проверка: сумма $10+30+50=90$. Новые числа $10-7=3$, $30-18=12$, $50-2=48$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=4$. Решение верное.

Случай 2: $d = -25$.
Искомые числа: $30-(-25)=55$, $30$, $30+(-25)=5$.
Проверка: сумма $55+30+5=90$. Новые числа $55-7=48$, $30-18=12$, $5-2=3$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/4$. Решение верное.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 10, 30, 50 или 55, 30, 5.