Номер 225, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Число 192 является членом геометрической прогрессии $ \frac{3}{8}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, \ldots $. Найдите номер этого члена.

Дана геометрическая прогрессия. Обозначим её члены как $b_1, b_2, b_3, \dots$. Из условия задачи имеем:$b_1 = \frac{3}{8}$$b_2 = \frac{1}{3}$$b_3 = \frac{3}{2}$

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ должен быть постоянным. Найдем его, разделив второй член на первый, и третий на второй:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{3/8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{9}$$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3/2}{1/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{2}$

Полученные значения знаменателя не равны друг другу ($\frac{8}{9} \neq \frac{9}{2}$), что указывает на возможную опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной является опечатка во втором члене прогрессии. Предположим, что первый и третий члены указаны верно, и найдем знаменатель $q$ из соотношения $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

$q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{3/2}{3/8} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4$Отсюда $q = \sqrt{4} = 2$ или $q = -2$. Так как все приведенные члены прогрессии положительны, будем считать, что знаменатель прогрессии также положителен, то есть $q = 2$. При таком знаменателе второй член был бы равен $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Итак, будем считать, что первый член прогрессии $b_1 = \frac{3}{8}$, а знаменатель $q = 2$. Нам нужно найти номер $n$ члена прогрессии, который равен 192. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения в формулу:$192 = \frac{3}{8} \cdot 2^{n-1}$

Решим полученное уравнение относительно $n$:$192 \cdot 8 = 3 \cdot 2^{n-1}$$1536 = 3 \cdot 2^{n-1}$$2^{n-1} = \frac{1536}{3}$$2^{n-1} = 512$

Представим число 512 в виде степени двойки:$512 = 2^9$Следовательно, мы имеем равенство:$2^{n-1} = 2^9$Приравнивая показатели степеней, получаем:$n - 1 = 9$$n = 9 + 1$$n = 10$

Таким образом, число 192 является 10-м членом данной геометрической прогрессии. Ответ: 10