Номер 237, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии равна 1200, а разность пятого и четвёртого членов равна 1000. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи даны две разности:

$ \begin{cases} b_5 - b_3 = 1200 \\ b_5 - b_4 = 1000 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1q^4 - b_1q^2 = 1200 \\ b_1q^4 - b_1q^3 = 1000 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1q^2(q^2 - 1) = 1200 \\ b_1q^3(q - 1) = 1000 \end{cases} $

В первом уравнении используем формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:

$ \begin{cases} b_1q^2(q - 1)(q + 1) = 1200 \quad (1) \\ b_1q^3(q - 1) = 1000 \quad (2) \end{cases} $

Чтобы найти $q$, разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это возможно, так как из условия $b_5-b_4=1000 \neq 0$ следует, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$.

$ \frac{b_1q^2(q - 1)(q + 1)}{b_1q^3(q - 1)} = \frac{1200}{1000} $

После сокращения дробей получаем:

$ \frac{q + 1}{q} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $

Решим это уравнение:

$5(q + 1) = 6q$
$5q + 5 = 6q$
$q = 5$

Теперь, зная знаменатель $q=5$, найдем первый член $b_1$. Подставим значение $q$ во второе уравнение системы:

$b_1 \cdot 5^3(5 - 1) = 1000$
$b_1 \cdot 125 \cdot 4 = 1000$
$500 b_1 = 1000$
$b_1 = \frac{1000}{500} = 2$

Теперь нам нужно найти сумму пяти первых членов прогрессии ($S_5$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1} $

Подставим известные значения $b_1=2$, $q=5$ и $n=5$:

$ S_5 = \frac{2(5^5 - 1)}{5 - 1} = \frac{2(3125 - 1)}{4} = \frac{2 \cdot 3124}{4} = \frac{6248}{4} = 1562 $

Ответ: 1562