Номер 240, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) $0.777...$;

2) $3.(27)$;

3) $0.2555...$;

4) $8.3(8)$.

1) Чтобы записать число $0,777...$ в виде обыкновенной дроби, обозначим его через $x$. Это чистая периодическая дробь $0,(7)$.
$x = 0,777...$
Умножим это уравнение на 10, так как в периоде одна цифра:
$10x = 7,777...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

2) Число $3,(27)$ можно представить как сумму целой части и дробной части: $3 + 0,(27)$.
Сначала преобразуем периодическую дробь $0,(27)$. Пусть $x = 0,2727...$.
Так как в периоде две цифры, умножим уравнение на 100:
$100x = 27,2727...$
Вычтем из полученного уравнения исходное:
$100x - x = 27,2727... - 0,2727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{3}{11}$
Теперь добавим целую часть:
$3,(27) = 3 + \frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{33+3}{11} = \frac{36}{11}$
Ответ: $\frac{36}{11}$

3) Число $0,2555...$ является смешанной периодической дробью, которую можно записать как $0,2(5)$.
Обозначим это число через $x$:
$x = 0,2555...$
Умножим уравнение на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$10x = 2,555...$
Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть и одну цифру периода:
$100x = 25,555...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$x = \frac{23}{90}$
Ответ: $\frac{23}{90}$

4) Число $8,3(8)$ является смешанной периодической дробью с целой частью. Его можно представить как $8 + 0,3(8)$.
Сначала преобразуем дробную часть $y = 0,3(8) = 0,3888...$.
Умножим на 10:
$10y = 3,888...$
Умножим на 100:
$100y = 38,888...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$100y - 10y = 38,888... - 3,888...$
$90y = 35$
$y = \frac{35}{90}$
Сократим дробь на 5:
$y = \frac{7}{18}$
Теперь добавим целую часть:
$8,3(8) = 8 + \frac{7}{18} = \frac{8 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{144+7}{18} = \frac{151}{18}$
Ответ: $\frac{151}{18}$