Номер 244, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии, что $|q| < 1$). По условию задачи, $S = 27$. Составим первое уравнение:
$\frac{b_1}{1-q} = 27$ (1)

Сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ равна $b_1 + b_2 + b_3$. Так как $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$, то $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$. По условию, $S_3 = 35$. Составим второе уравнение:
$b_1(1+q+q^2) = 35$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 27 \\ b_1(1+q+q^2) = 35 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 27(1-q)$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$27(1-q)(1+q+q^2) = 35$

Используя формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, упростим левую часть уравнения:
$27(1-q^3) = 35$

Решим полученное уравнение относительно $q$:
$1-q^3 = \frac{35}{27}$
$q^3 = 1 - \frac{35}{27}$
$q^3 = \frac{27-35}{27}$
$q^3 = -\frac{8}{27}$
$q = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Теперь найдём её первый член, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 27(1-q)$:
$b_1 = 27(1 - (-\frac{2}{3}))$
$b_1 = 27(1 + \frac{2}{3})$
$b_1 = 27(\frac{3+2}{3})$
$b_1 = 27 \cdot \frac{5}{3}$
$b_1 = 9 \cdot 5 = 45$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$ для существования суммы бесконечной прогрессии:
$|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 45$, знаменатель прогрессии $q = -\frac{2}{3}$.