Номер 238, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии ($c_n$), если $c_6 - c_4 = 135$, $c_6 - c_5 = 81$, а сумма всех членов $S_n = 665$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и формулой суммы ее первых n членов $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Знаменатель

Запишем данные условия в виде системы уравнений, выразив члены прогрессии через первый член $c_1$ и знаменатель $q$:

$\begin{cases} c_6 - c_4 = c_1q^5 - c_1q^3 = c_1q^3(q^2 - 1) = 135 \\ c_6 - c_5 = c_1q^5 - c_1q^4 = c_1q^4(q - 1) = 81 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Для этого в первом уравнении разложим выражение $q^2 - 1$ на множители $(q-1)(q+1)$:

$\frac{c_1q^3(q - 1)(q + 1)}{c_1q^4(q - 1)} = \frac{135}{81}$

После сокращения одинаковых множителей в левой части и дроби в правой части (на 27) получим:

$\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{3}$

Решим полученное уравнение методом пропорции:

$3(q + 1) = 5q$

$3q + 3 = 5q$

$2q = 3$

$q = \frac{3}{2}$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{2}$.

Первый член

Теперь, зная знаменатель $q = \frac{3}{2}$, найдем первый член $c_1$. Подставим значение $q$ в одно из уравнений системы, например, во второе: $c_1q^4(q - 1) = 81$.

$c_1(\frac{3}{2})^4(\frac{3}{2} - 1) = 81$

$c_1 \cdot \frac{81}{16} \cdot (\frac{3-2}{2}) = 81$

$c_1 \cdot \frac{81}{16} \cdot \frac{1}{2} = 81$

$c_1 \cdot \frac{81}{32} = 81$

Отсюда находим $c_1$:

$c_1 = 32$

Ответ: первый член прогрессии $c_1 = 32$.

Количество членов

Для нахождения количества членов $n$ воспользуемся формулой суммы $S_n = 665$ и уже найденными значениями $c_1 = 32$ и $q = \frac{3}{2}$.

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q-1}$

$665 = \frac{32((\frac{3}{2})^n - 1)}{\frac{3}{2} - 1}$

$665 = \frac{32((\frac{3}{2})^n - 1)}{\frac{1}{2}}$

$665 = 64 \cdot ((\frac{3}{2})^n - 1)$

Выразим $(\frac{3}{2})^n$:

$(\frac{3}{2})^n - 1 = \frac{665}{64}$

$(\frac{3}{2})^n = \frac{665}{64} + 1 = \frac{665 + 64}{64} = \frac{729}{64}$

Чтобы найти $n$, представим правую часть в виде степени числа $\frac{3}{2}$.

Так как $729 = 3^6$ и $64 = 2^6$, то $\frac{729}{64} = \frac{3^6}{2^6} = (\frac{3}{2})^6$.

Получаем уравнение:

$(\frac{3}{2})^n = (\frac{3}{2})^6$

Следовательно, $n=6$.

Ответ: количество членов прогрессии $n=6$.