Страница 40 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Известно, что $n < m$. Сравните:

1) $n - 5$ и $m$;

2) $m + 6$ и $n$;

3) $-n + 4$ и $-m + 4$;

4) $n + 3$ и $m - 2$.

1)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $n - 5$ и $m$. Так как из числа $n$ вычитается положительное число 5, то результат будет меньше, чем $n$. То есть, $n - 5 < n$. Поскольку нам известно, что $n < m$, мы можем объединить эти два неравенства в одно, используя свойство транзитивности: $n - 5 < n < m$. Из этого следует, что $n - 5 < m$.
Ответ: $n - 5 < m$.

2)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $m + 6$ и $n$. Так как к числу $m$ прибавляется положительное число 6, то результат будет больше, чем $m$. То есть, $m < m + 6$. Поскольку нам известно, что $n < m$, мы можем объединить эти два неравенства в одно, используя свойство транзитивности: $n < m < m + 6$. Из этого следует, что $n < m + 6$.
Ответ: $m + 6 > n$.

3)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $-n + 4$ и $-m + 4$. Сначала умножим обе части исходного неравенства на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$n \cdot (-1) > m \cdot (-1)$
$-n > -m$.
Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 4. Знак неравенства при этом не изменится:
$-n + 4 > -m + 4$.
Ответ: $-n + 4 > -m + 4$.

4)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $n + 3$ и $m - 2$. Рассмотрим разность этих двух выражений: $(m - 2) - (n + 3) = m - 2 - n - 3 = (m - n) - 5$. Из условия $n < m$ следует, что разность $m - n$ является положительным числом ($m - n > 0$). Однако результат всего выражения $(m - n) - 5$ зависит от величины разности $m - n$:
- Если разность $m - n$ больше 5, то $(m - n) - 5 > 0$, и следовательно $m - 2 > n + 3$. (Пример: $n=1, m=7$. Тогда $m-n = 6 > 5$. $n+3=4$, $m-2=5$. Итог: $4 < 5$.)
- Если разность $m - n$ равна 5, то $(m - n) - 5 = 0$, и следовательно $m - 2 = n + 3$. (Пример: $n=1, m=6$. Тогда $m-n = 5$. $n+3=4$, $m-2=4$. Итог: $4 = 4$.)
- Если разность $m - n$ меньше 5 (но больше 0), то $(m - n) - 5 < 0$, и следовательно $m - 2 < n + 3$. (Пример: $n=1, m=3$. Тогда $m-n = 2 < 5$. $n+3=4$, $m-2=1$. Итог: $4 > 1$.)
Так как возможны все три варианта сравнения ($<, =, >$), то на основе одного лишь условия $n < m$ дать однозначный ответ невозможно.
Ответ: Сравнить невозможно.

9. Сравните числа $m$ и $0$, если:

1) $9m < 7m$;

2) $\frac{m}{6} > \frac{m}{11}$;

3) $-4m < -13m$;

4) $-\frac{m}{30} < -\frac{m}{15}$.

1) Дано неравенство $9m < 7m$.

Для решения перенесем слагаемое $7m$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$9m - 7m < 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2m < 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$m < 0$

Таким образом, число $m$ отрицательное.

Ответ: $m < 0$.

2) Дано неравенство $\frac{m}{6} > \frac{m}{11}$.

Перенесем дробь $\frac{m}{11}$ в левую часть неравенства:

$\frac{m}{6} - \frac{m}{11} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $6 \times 11 = 66$:

$\frac{11m}{66} - \frac{6m}{66} > 0$

$\frac{11m - 6m}{66} > 0$

$\frac{5m}{66} > 0$

Знаменатель дроби $66$ является положительным числом. Чтобы вся дробь была больше нуля, ее числитель также должен быть положительным:

$5m > 0$

Разделим обе части на 5:

$m > 0$

Таким образом, число $m$ положительное.

Ответ: $m > 0$.

3) Дано неравенство $-4m < -13m$.

Перенесем слагаемое $-13m$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-4m + 13m < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9m < 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 9. Знак неравенства не меняется:

$m < 0$

Таким образом, число $m$ отрицательное.

Ответ: $m < 0$.

4) Дано неравенство $-\frac{m}{30} < -\frac{m}{15}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении (или делении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{m}{30} > \frac{m}{15}$

Теперь перенесем дробь $\frac{m}{15}$ в левую часть:

$\frac{m}{30} - \frac{m}{15} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{m}{30} - \frac{2m}{30} > 0$

$\frac{m - 2m}{30} > 0$

$\frac{-m}{30} > 0$

Знаменатель дроби $30$ положителен. Чтобы дробь была больше нуля, ее числитель также должен быть положителен:

$-m > 0$

Умножим обе части на $-1$ и снова поменяем знак неравенства:

$m < 0$

Таким образом, число $m$ отрицательное.

Ответ: $m < 0$.

10. Дано: $x < 0$ и $y > 0$. Сравните:

1) $x - y$ и $0$;

2) $x - y$ и $y$;

3) $2y - 5x$ и $x$;

4) $\frac{1}{4x - 3y}$ и $y$.

По условию задачи даны два числа: $x$ и $y$, где $x < 0$ (отрицательное число) и $y > 0$ (положительное число). На основе этих данных сравним предложенные выражения.

Рассмотрим выражение $x - y$. Нам известно, что $x$ — отрицательное число. Поскольку $y$ — положительное число ($y > 0$), то $-y$ будет отрицательным числом ($-y < 0$). Выражение $x - y$ можно представить как сумму двух отрицательных чисел: $x + (-y)$. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $x - y < 0$.

Ответ: $x - y < 0$.

Для сравнения двух выражений найдем их разность: $(x - y) - y = x - 2y$. Оценим знак полученного выражения $x - 2y$. По условию $x < 0$. Поскольку $y > 0$, то $2y > 0$, а значит $-2y < 0$. Выражение $x - 2y$ является суммой двух отрицательных чисел ($x$ и $-2y$), поэтому результат также будет отрицательным: $x - 2y < 0$. Так как разность $(x - y) - y$ меньше нуля, это означает, что уменьшаемое меньше вычитаемого. Следовательно, $x - y < y$.

Ответ: $x - y < y$.

Сравним выражения, найдя их разность: $(2y - 5x) - x = 2y - 6x$. Оценим знак этого выражения. По условию $y > 0$, значит $2y > 0$. По условию $x < 0$, значит $-x > 0$, и, следовательно, $-6x$ также будет положительным числом ($-6x > 0$). Выражение $2y - 6x$ является суммой двух положительных чисел ($2y$ и $-6x$), поэтому результат будет положительным: $2y - 6x > 0$. Поскольку разность $(2y - 5x) - x$ больше нуля, то уменьшаемое больше вычитаемого. Следовательно, $2y - 5x > x$.

Ответ: $2y - 5x > x$.

Сначала определим знак каждого из сравниваемых выражений. По условию $y > 0$, то есть $y$ — положительное число. Рассмотрим знаменатель дроби $4x - 3y$. Так как $x < 0$, то $4x < 0$. Так как $y > 0$, то $3y > 0$, а значит $-3y < 0$. Знаменатель $4x - 3y$ является суммой двух отрицательных чисел ($4x$ и $-3y$), следовательно, сам знаменатель отрицателен: $4x - 3y < 0$. Дробь $\frac{1}{4x - 3y}$ имеет положительный числитель (1) и отрицательный знаменатель, поэтому значение всей дроби отрицательно: $\frac{1}{4x - 3y} < 0$. Мы сравниваем отрицательное число ($\frac{1}{4x - 3y}$) с положительным числом ($y$). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Следовательно, $\frac{1}{4x - 3y} < y$.

Ответ: $\frac{1}{4x - 3y} < y$.

11. Верно ли утверждение:

1) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x+y > 16$;

2) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x+y > 15$;

3) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x+y > 17$;

4) если $x > 2$ и $y > 14$, то $xy > 28$;

5) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x-y > -12$;

6) если $x > 2$ и $y > 14$, то $xy > 27$;

7) если $x > 2$ и $y > 14$, то $2x+3y > 46$;

8) если $x < 2$ и $y > 14$, то $y-x > 12$;

9) если $x < 2$ и $y < 14$, то $xy < 28$;

10) если $0 < x < 2$ и $0 < y < 14$, то $xy < 28$;

11) если $x > 5$, то $x^2 > 25$;

12) если $x < 5$, то $x^2 < 25$;

13) если $x > 5$, то $\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$;

14) если $x < 5$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{5}$?

1) Даны неравенства $x > 2$ и $y > 14$. Так как знаки неравенств одинаковы, мы можем их почленно сложить. Складываем левые и правые части соответственно: $x + y > 2 + 14$, что приводит к $x + y > 16$. Утверждение полностью совпадает с полученным выводом. Ответ: Верно

2) Из условий $x > 2$ и $y > 14$ следует, что $x + y > 16$, как было доказано в предыдущем пункте. Любое число, которое больше 16, также будет больше 15. Следовательно, если $x + y > 16$, то и $x + y > 15$. Ответ: Верно

3) Из $x > 2$ и $y > 14$ следует, что $x + y > 16$. Однако, это не гарантирует, что сумма будет больше 17. Можно подобрать контрпример. Возьмем значения, близкие к граничным: пусть $x = 2.1$ и $y = 14.1$. Условия $2.1 > 2$ и $14.1 > 14$ выполняются. Их сумма $x + y = 2.1 + 14.1 = 16.2$. Неравенство $16.2 > 17$ неверно. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно

4) Поскольку $x > 2$ и $y > 14$, обе переменные принимают строго положительные значения. Неравенства одного знака с положительными частями можно перемножать. Перемножим левые и правые части: $x \cdot y > 2 \cdot 14$, что дает $xy > 28$. Утверждение верно. Ответ: Верно

5) Для анализа разности $x - y$ преобразуем неравенство $y > 14$, умножив его на -1, что меняет знак неравенства: $-y < -14$. Теперь у нас есть $x > 2$ и $-y < -14$. Сложить эти неравенства разных знаков нельзя. Приведем контрпример. Пусть $x = 3$ (что больше 2) и $y = 20$ (что больше 14). Тогда $x - y = 3 - 20 = -17$. Неравенство $-17 > -12$ ложно. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно

6) Как было показано в пункте 4, из $x > 2$ и $y > 14$ следует, что $xy > 28$. Любое число, которое больше 28, очевидно, больше и 27. Следовательно, утверждение $xy > 27$ также верно. Ответ: Верно

7) Умножим неравенство $x > 2$ на положительное число 2, получим $2x > 4$. Умножим неравенство $y > 14$ на положительное число 3, получим $3y > 42$. Теперь сложим полученные неравенства одного знака: $2x + 3y > 4 + 42$, что равносильно $2x + 3y > 46$. Утверждение верно. Ответ: Верно

8) Преобразуем неравенство $x < 2$, умножив обе части на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $-x > -2$. Теперь у нас есть два неравенства одного знака: $y > 14$ и $-x > -2$. Сложим их: $y + (-x) > 14 + (-2)$, что равносильно $y - x > 12$. Утверждение верно. Ответ: Верно

9) Утверждение неверно, так как переменные $x$ и $y$ могут быть отрицательными. Если перемножить два отрицательных числа, результат будет положительным и может быть больше 28. Приведем контрпример. Пусть $x = -10$ и $y = -5$. Условия $x < 2$ ($-10 < 2$) и $y < 14$ ($-5 < 14$) выполнены. Их произведение $xy = (-10) \cdot (-5) = 50$. Неравенство $50 < 28$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно

10) В данном случае $0 < x < 2$ и $0 < y < 14$, что означает, что обе переменные положительны. Так как $x < 2$ и $y < 14$ и все части неравенств положительны, их можно перемножить: $xy < 2 \cdot 14$, то есть $xy < 28$. Утверждение верно. Ответ: Верно

11) Если $x > 5$, то $x$ является положительным числом. Для неравенств, обе части которых положительны, при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется. Таким образом, из $x > 5$ следует $x^2 > 5^2$, то есть $x^2 > 25$. Утверждение верно. Ответ: Верно

12) Утверждение неверно, поскольку $x$ может быть отрицательным числом. Рассмотрим контрпример. Пусть $x = -10$. Условие $x < 5$ ($-10 < 5$) выполнено. Однако $x^2 = (-10)^2 = 100$. Неравенство $100 < 25$ является ложным. Утверждение было бы верным при условии $0 \le x < 5$. Ответ: Неверно

13) Если $x > 5$, то $x$ и 5 — положительные числа. При взятии обратной величины от обеих частей неравенства, если они одного знака, знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $x > 5$ следует, что $\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$. Утверждение верно. Ответ: Верно

14) Утверждение неверно. Область $x < 5$ включает в себя ноль (при котором выражение $\frac{1}{x}$ не определено) и отрицательные числа. Приведем контрпример с отрицательным $x$. Пусть $x = -1$. Условие $x < 5$ ($-1 < 5$) выполнено. Тогда $\frac{1}{x} = -1$. Неравенство $-1 > \frac{1}{5}$ ложно, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Ответ: Неверно

12. Дано: $-5 < x < 1$. Оцените значение выражения:

1) $7x$;

2) $\frac{x}{3}$;

3) $x+3$;

4) $x-8$;

5) $-x$;

6) $-6x$;

7) $3x-2$;

8) $9-5x$.

Для оценки значений выражений будем использовать свойства неравенств. Исходное неравенство: $-5 < x < 1$.

1) 7x

Умножим все части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$-5 \cdot 7 < x \cdot 7 < 1 \cdot 7$

$-35 < 7x < 7$

Ответ: $-35 < 7x < 7$

2) $\frac{x}{3}$

Разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$\frac{-5}{3} < \frac{x}{3} < \frac{1}{3}$

$-1\frac{2}{3} < \frac{x}{3} < \frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3} < \frac{x}{3} < \frac{1}{3}$

3) x + 3

Прибавим ко всем частям неравенства число 3. Прибавление или вычитание числа не меняет знаки неравенства.

$-5 + 3 < x + 3 < 1 + 3$

$-2 < x + 3 < 4$

Ответ: $-2 < x + 3 < 4$

4) x - 8

Вычтем из всех частей неравенства число 8.

$-5 - 8 < x - 8 < 1 - 8$

$-13 < x - 8 < -7$

Ответ: $-13 < x - 8 < -7$

5) -x

Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$-5 \cdot (-1) > x \cdot (-1) > 1 \cdot (-1)$

$5 > -x > -1$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-1 < -x < 5$

Ответ: $-1 < -x < 5$

6) -6x

Умножим все части неравенства на -6. Так как -6 — отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.

$-5 \cdot (-6) > x \cdot (-6) > 1 \cdot (-6)$

$30 > -6x > -6$

Запишем неравенство в стандартном виде:

$-6 < -6x < 30$

Ответ: $-6 < -6x < 30$

7) 3x - 2

Сначала умножим исходное неравенство на 3:

$-5 \cdot 3 < x \cdot 3 < 1 \cdot 3$

$-15 < 3x < 3$

Теперь вычтем 2 из всех частей полученного неравенства:

$-15 - 2 < 3x - 2 < 3 - 2$

$-17 < 3x - 2 < 1$

Ответ: $-17 < 3x - 2 < 1$

8) 9 - 5x

Сначала оценим выражение $-5x$. Умножим исходное неравенство на -5, поменяв знаки неравенства на противоположные:

$-5 \cdot (-5) > x \cdot (-5) > 1 \cdot (-5)$

$25 > -5x > -5$

Запишем в стандартном виде: $-5 < -5x < 25$.

Теперь прибавим 9 ко всем частям полученного неравенства, чтобы получить выражение $9 - 5x$ (что эквивалентно $-5x + 9$):

$-5 + 9 < -5x + 9 < 25 + 9$

$4 < 9 - 5x < 34$

Ответ: $4 < 9 - 5x < 34$