Страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Решите неравенство:

1) $|x| < 7$;

2) $|x - 1| \le 3,8$;

3) $|7x - 5| \le 3$;

4) $|5 - 4x| < 6.$

1)

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применяя это правило к неравенству $|x| < 7$, получаем:

$-7 < x < 7$

Это означает, что $x$ находится в интервале от -7 до 7, не включая концы интервала.

Ответ: $(-7; 7)$

2)

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применяя это правило к неравенству $|x - 1| \le 3,8$, получаем:

$-3,8 \le x - 1 \le 3,8$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-3,8 + 1 \le x - 1 + 1 \le 3,8 + 1$

$-2,8 \le x \le 4,8$

Решением является числовой отрезок, включая концы.

Ответ: $[-2,8; 4,8]$

3)

Данное неравенство $|7x - 5| \le 3$ также решается через двойное неравенство:

$-3 \le 7x - 5 \le 3$

Сначала прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 \le 7x - 5 + 5 \le 3 + 5$

$2 \le 7x \le 8$

Теперь разделим все части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знаки неравенства не меняются.

$\frac{2}{7} \le x \le \frac{8}{7}$

Решением является числовой отрезок, включая концы.

Ответ: $[\frac{2}{7}; \frac{8}{7}]$

4)

Неравенство $|5 - 4x| < 6$ равносильно двойному неравенству:

$-6 < 5 - 4x < 6$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-6 - 5 < 5 - 4x - 5 < 6 - 5$

$-11 < -4x < 1$

Теперь разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-11}{-4} > x > \frac{1}{-4}$

$\frac{11}{4} > x > -\frac{1}{4}$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{1}{4} < x < \frac{11}{4}$

Решением является интервал, не включая концы.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; \frac{11}{4})$

55. Решите неравенство:

1) $ \vert x \vert > 9; $

2) $ \vert x - 4 \vert \ge 3,2; $

3) $ \vert 0,4x + 3 \vert \ge 2; $

4) $ \vert 7 - 8x \vert > 9. $

1) $|x| > 9$

Неравенство с модулем вида $|A| > B$, где $B>0$, равносильно совокупности (объединению решений) двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

В нашем случае $A=x$ и $B=9$. Таким образом, неравенство $|x| > 9$ распадается на два случая:

$x > 9$ или $x < -9$.

Решением является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty)$.

2) $|x - 4| \geq 3,2$

Неравенство вида $|A| \geq B$, где $B \geq 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \geq B$ или $A \leq -B$.

Применяя это правило, получаем совокупность:

$x - 4 \geq 3.2$ или $x - 4 \leq -3.2$.

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$x - 4 \geq 3.2$

$x \geq 3.2 + 4$

$x \geq 7.2$

Второе неравенство:

$x - 4 \leq -3.2$

$x \leq -3.2 + 4$

$x \leq 0.8$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.8] \cup [7.2; +\infty)$.

3) $|0,4x + 3| \geq 2$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$0.4x + 3 \geq 2$ или $0.4x + 3 \leq -2$.

Решим первое неравенство:

$0.4x + 3 \geq 2$

$0.4x \geq 2 - 3$

$0.4x \geq -1$

$x \geq \frac{-1}{0.4}$

$x \geq -2.5$

Решим второе неравенство:

$0.4x + 3 \leq -2$

$0.4x \leq -2 - 3$

$0.4x \leq -5$

$x \leq \frac{-5}{0.4}$

$x \leq -12.5$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -12.5] \cup [-2.5; +\infty)$.

4) $|7 - 8x| > 9$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$7 - 8x > 9$ или $7 - 8x < -9$.

Решим первое неравенство:

$7 - 8x > 9$

$-8x > 9 - 7$

$-8x > 2$

При делении на отрицательное число ($-8$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{2}{-8}$

$x < -\frac{1}{4}$ или $x < -0.25$

Решим второе неравенство:

$7 - 8x < -9$

$-8x < -9 - 7$

$-8x < -16$

Аналогично, делим на $-8$ и меняем знак:

$x > \frac{-16}{-8}$

$x > 2$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.25) \cup (2; +\infty)$.

56. Решите уравнение:

1) $|x| + |x - 3| = 4;$

2) $|x - 2| + |x + 3| = 5;$

3) $|x| - |x - 3| = 4;$

4) $|2x - 6| - |x + 4| = 4x + 10.$

1) $|x| + |x - 3| = 4$

Для решения этого уравнения применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 3)$ и $[3, +\infty)$. Решим уравнение на каждом из них.

а) При $x < 0$. На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$-x + (3 - x) = 4$

$-2x + 3 = 4$

$-2x = 1$

$x = -0.5$

Так как $-0.5 < 0$, это значение является корнем уравнения.

б) При $0 \le x < 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$x + (3 - x) = 4$

$3 = 4$

Получено неверное равенство, следовательно, на данном промежутке корней нет.

в) При $x \ge 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x + (x - 3) = 4$

$2x - 3 = 4$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Так как $3.5 \ge 3$, это значение является корнем уравнения.

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = 3.5$.

2) $|x - 2| + |x + 3| = 5$

Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$ и $[2, +\infty)$.

а) При $x < -3$. На этом промежутке $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 3| = -(x + 3)$.

$-(x - 2) - (x + 3) = 5$

$-x + 2 - x - 3 = 5$

$-2x - 1 = 5$

$-2x = 6$

$x = -3$

Значение $x = -3$ не входит в интервал $x < -3$, но является его граничной точкой. Проверим его отдельно: $|-3 - 2| + |-3 + 3| = |-5| + |0| = 5$. Корень подходит.

б) При $-3 \le x < 2$. На этом промежутке $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 3| = x + 3$.

$-(x - 2) + (x + 3) = 5$

$-x + 2 + x + 3 = 5$

$5 = 5$

Получено верное тождество. Это означает, что все числа из промежутка $[-3, 2)$ являются решениями уравнения.

в) При $x \ge 2$. На этом промежутке $|x - 2| = x - 2$ и $|x + 3| = x + 3$.

$(x - 2) + (x + 3) = 5$

$2x + 1 = 5$

$2x = 4$

$x = 2$

Так как $2 \ge 2$, это значение является корнем уравнения.

Объединяя результаты из всех случаев, получаем, что решением является отрезок $[-3, 2]$.

Ответ: $x \in [-3, 2]$.

3) $|x| - |x - 3| = 4$

Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль: $x = 0$ и $x = 3$.

Рассмотрим три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 3)$ и $[3, +\infty)$.

а) При $x < 0$. На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.

$-x - (-(x - 3)) = 4$

$-x + x - 3 = 4$

$-3 = 4$

Неверное равенство, корней нет.

б) При $0 \le x < 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.

$x - (-(x - 3)) = 4$

$x + x - 3 = 4$

$2x - 3 = 4$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Значение $x = 3.5$ не принадлежит промежутку $[0, 3)$, поэтому корнем не является.

в) При $x \ge 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = x - 3$.

$x - (x - 3) = 4$

$x - x + 3 = 4$

$3 = 4$

Неверное равенство, корней нет.

Ответ: нет решений.

4) $|2x - 6| - |x + 4| = 4x + 10$

Упростим первый модуль: $|2x - 6| = |2(x - 3)| = 2|x - 3|$. Уравнение примет вид:

$2|x - 3| - |x + 4| = 4x + 10$

Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -4)$, $[-4, 3)$ и $[3, +\infty)$.

а) При $x < -4$. На этом промежутке $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|x + 4| = -(x + 4)$.

$2(-(x - 3)) - (-(x + 4)) = 4x + 10$

$-2x + 6 + x + 4 = 4x + 10$

$-x + 10 = 4x + 10$

$-5x = 0$

$x = 0$

Значение $x = 0$ не принадлежит промежутку $(-\infty, -4)$, поэтому корнем не является.

б) При $-4 \le x < 3$. На этом промежутке $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|x + 4| = x + 4$.

$2(-(x - 3)) - (x + 4) = 4x + 10$

$-2x + 6 - x - 4 = 4x + 10$

$-3x + 2 = 4x + 10$

$-7x = 8$

$x = -8/7$

Значение $x = -8/7$ принадлежит промежутку $[-4, 3)$ (так как $-4 \le -1 \frac{1}{7} < 3$), поэтому является корнем.

в) При $x \ge 3$. На этом промежутке $|x - 3| = x - 3$ и $|x + 4| = x + 4$.

$2(x - 3) - (x + 4) = 4x + 10$

$2x - 6 - x - 4 = 4x + 10$

$x - 10 = 4x + 10$

$-3x = 20$

$x = -20/3$

Значение $x = -20/3 = -6 \frac{2}{3}$ не принадлежит промежутку $[3, +\infty)$, поэтому корнем не является.

Ответ: $x = -8/7$.

57. Решите неравенство:

1) $ |x + 3| + 4x \ge 6; $

2) $ |x - 4| - 5x < 12; $

3) $ |x + 3| + |x - 3| \le 6; $

4) $ |x + 2| + |x - 3| > 4; $

5) $ |x + 2,2| - |x - 1,8| \le 2; $

6) $ |3x + 16| - |2x - 14| > 8. $

1) Решим неравенство $|x + 3| + 4x \ge 6$.

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Неравенство принимает вид:
$x + 3 + 4x \ge 6$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$
Учитывая условие $x \ge -3$, получаем решение для этого случая: $x \in [\frac{3}{5}; +\infty)$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.
В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Неравенство принимает вид:
$-x - 3 + 4x \ge 6$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$
Это решение не удовлетворяет условию $x < -3$, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{3}{5}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x - 4| - 5x < 12$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
Тогда $|x - 4| = x - 4$.
$x - 4 - 5x < 12$
$-4x < 16$
$x > -4$
Пересекая с условием $x \ge 4$, получаем решение: $x \ge 4$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
Тогда $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.
$4 - x - 5x < 12$
$-6x < 8$
$x > -\frac{8}{6}$
$x > -\frac{4}{3}$
Пересекая с условием $x < 4$, получаем решение: $-\frac{4}{3} < x < 4$.

Объединяем решения из обоих случаев: $[4; +\infty) \cup (-\frac{4}{3}; 4)$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $|x + 3| + |x - 3| \le 6$.

Используем метод интервалов. На числовой прямой отметим точки, где выражения под модулями равны нулю: $x = -3$ и $x = 3$. Эти точки разбивают прямую на три интервала.

Интервал 1: $x < -3$.
На этом интервале $|x + 3| = -x - 3$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(-x - 3) + (-x + 3) \le 6$
$-2x \le 6$
$x \ge -3$
Нет решений, так как условие $x < -3$ и результат $x \ge -3$ не пересекаются.

Интервал 2: $-3 \le x < 3$.
На этом интервале $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(x + 3) + (-x + 3) \le 6$
$6 \le 6$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-3; 3)$.

Интервал 3: $x \ge 3$.
На этом интервале $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 3| = x - 3$.
$(x + 3) + (x - 3) \le 6$
$2x \le 6$
$x \le 3$
Пересекая с условием $x \ge 3$, получаем единственное решение: $x = 3$.

Объединяем решения из всех интервалов: $[-3; 3) \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.

4) Решим неравенство $|x + 2| + |x - 3| > 4$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 3$.

Интервал 1: $x < -2$.
$|x + 2| = -x - 2$, $|x - 3| = -x + 3$.
$(-x - 2) + (-x + 3) > 4$
$-2x + 1 > 4$
$-2x > 3$
$x < -1.5$
Пересекая с $x < -2$, получаем $x < -2$.

Интервал 2: $-2 \le x < 3$.
$|x + 2| = x + 2$, $|x - 3| = -x + 3$.
$(x + 2) + (-x + 3) > 4$
$5 > 4$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-2; 3)$.

Интервал 3: $x \ge 3$.
$|x + 2| = x + 2$, $|x - 3| = x - 3$.
$(x + 2) + (x - 3) > 4$
$2x - 1 > 4$
$2x > 5$
$x > 2.5$
Пересекая с $x \ge 3$, получаем $x \ge 3$.

Объединяем решения: $(-\infty; -2) \cup [-2; 3) \cup [3; +\infty)$. Это вся числовая прямая.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) Решим неравенство $|x + 2.2| - |x - 1.8| \le 2$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: $x = -2.2$ и $x = 1.8$.

Интервал 1: $x < -2.2$.
$|x + 2.2| = -x - 2.2$, $|x - 1.8| = -x + 1.8$.
$(-x - 2.2) - (-x + 1.8) \le 2$
$-x - 2.2 + x - 1.8 \le 2$
$-4 \le 2$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $(-\infty; -2.2)$.

Интервал 2: $-2.2 \le x < 1.8$.
$|x + 2.2| = x + 2.2$, $|x - 1.8| = -x + 1.8$.
$(x + 2.2) - (-x + 1.8) \le 2$
$x + 2.2 + x - 1.8 \le 2$
$2x + 0.4 \le 2$
$2x \le 1.6$
$x \le 0.8$
Пересекая с условием $-2.2 \le x < 1.8$, получаем решение: $[-2.2; 0.8]$.

Интервал 3: $x \ge 1.8$.
$|x + 2.2| = x + 2.2$, $|x - 1.8| = x - 1.8$.
$(x + 2.2) - (x - 1.8) \le 2$
$4 \le 2$
Неравенство неверно. Решений в этом интервале нет.

Объединяем решения: $(-\infty; -2.2) \cup [-2.2; 0.8]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.8]$.

6) Решим неравенство $|3x + 16| - |2x - 14| > 8$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: $3x+16=0 \Rightarrow x = -\frac{16}{3}$ и $2x-14=0 \Rightarrow x=7$.

Интервал 1: $x < -\frac{16}{3}$.
$|3x + 16| = -3x - 16$, $|2x - 14| = -2x + 14$.
$(-3x - 16) - (-2x + 14) > 8$
$-3x - 16 + 2x - 14 > 8$
$-x - 30 > 8$
$-x > 38$
$x < -38$
Это решение удовлетворяет условию $x < -\frac{16}{3}$.

Интервал 2: $-\frac{16}{3} \le x < 7$.
$|3x + 16| = 3x + 16$, $|2x - 14| = -2x + 14$.
$(3x + 16) - (-2x + 14) > 8$
$3x + 16 + 2x - 14 > 8$
$5x + 2 > 8$
$5x > 6$
$x > \frac{6}{5}$ (или $x > 1.2$)
Пересекая с условием интервала, получаем решение: $(\frac{6}{5}; 7)$.

Интервал 3: $x \ge 7$.
$|3x + 16| = 3x + 16$, $|2x - 14| = 2x - 14$.
$(3x + 16) - (2x - 14) > 8$
$x + 30 > 8$
$x > -22$
Пересекая с условием $x \ge 7$, получаем решение: $[7; +\infty)$.

Объединяем все найденные решения: $(-\infty; -38) \cup (\frac{6}{5}; 7) \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -38) \cup (\frac{6}{5}; +\infty)$.

58. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < -4, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 4, \\ x > a. \end{cases}$

1) Дана система неравенств: $\begin{cases} x < -4, \\ x < a. \end{cases}$.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство задает промежуток $(-\infty; -4)$, второе — промежуток $(-\infty; a)$. Для нахождения пересечения этих промежутков необходимо сравнить значение параметра $a$ с числом $-4$.

Возможны два случая:

1. Если $a \le -4$, то любой $x$, удовлетворяющий условию $x < a$, автоматически удовлетворяет и условию $x < -4$, так как промежуток $(-\infty; a)$ является подмножеством промежутка $(-\infty; -4)$ (или совпадает с ним при $a=-4$). Следовательно, решением системы является неравенство $x < a$.

2. Если $a > -4$, то любой $x$, удовлетворяющий условию $x < -4$, автоматически удовлетворяет и условию $x < a$, так как промежуток $(-\infty; -4)$ является подмножеством промежутка $(-\infty; a)$. Следовательно, решением системы является неравенство $x < -4$.

Ответ: при $a \le -4$ решением является $x \in (-\infty; a)$; при $a > -4$ решением является $x \in (-\infty; -4)$.

2) Дана система неравенств: $\begin{cases} x < 4, \\ x > a. \end{cases}$.

Решением этой системы являются все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам, что можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < 4$.

Для того чтобы у этого двойного неравенства существовали решения, необходимо, чтобы левая граница интервала была строго меньше правой, то есть $a < 4$. Рассмотрим возможные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a < 4$, то интервал $(a; 4)$ не является пустым. Решением системы являются все $x$ из этого интервала.

2. Если $a \ge 4$, то левая граница $a$ больше или равна правой границе $4$. В этом случае не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше $a$ и меньше $4$. Пересечение множеств решений $(-\infty; 4)$ и $(a; \infty)$ является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: при $a < 4$ решением является $x \in (a; 4)$; при $a \ge 4$ решений нет.

59. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (3a+2)x + 8a - 4a^2 = 0$ больше числа $-7$?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения $x^2 - (3a + 2)x + 8a - 4a^2 = 0$ были больше числа -7, необходимо и достаточно, чтобы для квадратичной функции $f(x) = x^2 - (3a + 2)x + 8a - 4a^2$ (графиком которой является парабола с ветвями вверх) одновременно выполнялись три условия:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
2. Абсцисса вершины параболы $x_в$ должна быть больше, чем -7 ($x_в > -7$).
3. Значение функции в точке $x = -7$ должно быть положительным ($f(-7) > 0$).

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Существование действительных корней

Найдем дискриминант уравнения:

$D = (-(3a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 4a^2) = (3a + 2)^2 - 4(8a - 4a^2)$

$D = (9a^2 + 12a + 4) - (32a - 16a^2) = 9a^2 + 12a + 4 - 32a + 16a^2 = 25a^2 - 20a + 4$

Полученное выражение является полным квадратом:

$D = (5a - 2)^2$

Условие $D \ge 0$ принимает вид $(5a - 2)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного значения $a$.

2. Положение вершины параболы

Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a_{коэф}}$.

$x_в = -\frac{-(3a+2)}{2 \cdot 1} = \frac{3a+2}{2}$

Согласно условию, $x_в > -7$:

$\frac{3a+2}{2} > -7$

$3a+2 > -14$

$3a > -16$

$a > -\frac{16}{3}$

3. Значение функции в точке x = -7

Поскольку ветви параболы направлены вверх и ее вершина находится правее точки -7, для того чтобы оба корня были больше -7, значение функции в этой точке должно быть положительным.

$f(-7) = (-7)^2 - (3a + 2)(-7) + 8a - 4a^2 > 0$

$49 + 7(3a + 2) + 8a - 4a^2 > 0$

$49 + 21a + 14 + 8a - 4a^2 > 0$

$-4a^2 + 29a + 63 > 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$4a^2 - 29a - 63 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4a^2 - 29a - 63 = 0$:

$D_a = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63) = 841 + 1008 = 1849 = 43^2$

$a_1 = \frac{29 - 43}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$

$a_2 = \frac{29 + 43}{2 \cdot 4} = \frac{72}{8} = 9$

Так как парабола $y = 4a^2 - 29a - 63$ имеет ветви вверх, неравенство $4a^2 - 29a - 63 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-\frac{7}{4} < a < 9$.

Объединение условий

Для нахождения искомых значений параметра $a$ необходимо найти пересечение решений, полученных для каждого условия:

$\begin{cases} a \in (-\infty; +\infty) \\ a > -\frac{16}{3} \\ -\frac{7}{4} < a < 9 \end{cases}$

Сравним граничные значения: $-\frac{16}{3} \approx -5.33$ и $-\frac{7}{4} = -1.75$. Так как $-1.75 > -5.33$, то общим решением системы неравенств будет интервал, удовлетворяющий самому сильному ограничению снизу и ограничению сверху.

Итоговым решением является пересечение интервалов $(-\frac{16}{3}; +\infty)$ и $(-\frac{7}{4}; 9)$, что дает $(-\frac{7}{4}; 9)$.

Ответ: $a \in (-\frac{7}{4}; 9)$.

60. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (5a - 2)x + 6a^2 - 4a = 0$ принадлежат промежутку $[4; 7]$?

Найдем корни данного квадратного уравнения $x^2 - (5a - 2)x + 6a^2 - 4a = 0$ в зависимости от параметра $a$.

Для этого вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-(5a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2 - 4a) = (25a^2 - 20a + 4) - (24a^2 - 16a) = 25a^2 - 20a + 4 - 24a^2 + 16a = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$.

Так как дискриминант является полным квадратом, корни уравнения можно выразить через $a$:

$x_1 = \frac{5a - 2 + \sqrt{(a - 2)^2}}{2} = \frac{5a - 2 + (a - 2)}{2} = \frac{6a - 4}{2} = 3a - 2$.

$x_2 = \frac{5a - 2 - \sqrt{(a - 2)^2}}{2} = \frac{5a - 2 - (a - 2)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[4; 7]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

$4 \le x_1 \le 7 \implies 4 \le 3a - 2 \le 7$

$4 \le x_2 \le 7 \implies 4 \le 2a \le 7$

Решим каждое двойное неравенство относительно $a$.

Из первого неравенства:

$4 \le 3a - 2 \implies 6 \le 3a \implies a \ge 2$

$3a - 2 \le 7 \implies 3a \le 9 \implies a \le 3$

Таким образом, для первого корня получаем условие $a \in [2; 3]$.

Из второго неравенства:

$4 \le 2a \implies a \ge 2$

$2a \le 7 \implies a \le \frac{7}{2} \implies a \le 3.5$

Таким образом, для второго корня получаем условие $a \in [2; 3.5]$.

Для того чтобы оба корня принадлежали заданному промежутку, необходимо, чтобы оба условия на параметр $a$ выполнялись одновременно. Найдем пересечение полученных промежутков:

$[2; 3] \cap [2; 3.5] = [2; 3]$.

Ответ: $a \in [2; 3]$.

61. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 2a - 3 = 0$ меньше 3, а другой — больше 5?

Дано квадратное уравнение $2x^2 - (3a + 5)x + a^2 + 2a - 3 = 0$.

Обозначим левую часть уравнения как функцию от $x$: $f(x) = 2x^2 - (3a + 5)x + a^2 + 2a - 3$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

По условию задачи, один из корней уравнения ($x_1$) меньше 3, а другой ($x_2$) — больше 5. Это можно записать как $x_1 < 3 < 5 < x_2$. Геометрически это означает, что точки с абсциссами 3 и 5 находятся между корнями параболы.

Для параболы с ветвями, направленными вверх, это условие выполняется тогда и только тогда, когда значения функции в точках $x=3$ и $x=5$ отрицательны. Таким образом, мы должны решить систему неравенств:
$ \begin{cases} f(3) < 0 \\ f(5) < 0 \end{cases} $

Заметим, что если парабола с ветвями вверх принимает хотя бы одно отрицательное значение, она обязательно пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Следовательно, выполнение этой системы неравенств автоматически обеспечивает наличие двух различных действительных корней (то есть положительность дискриминанта).

1. Решим первое неравенство $f(3) < 0$:
$f(3) = 2 \cdot (3)^2 - (3a + 5) \cdot 3 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$2 \cdot 9 - 9a - 15 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$18 - 9a - 15 + a^2 + 2a - 3 < 0$
Приводим подобные члены:
$a^2 - 7a < 0$
$a(a - 7) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $a \in (0; 7)$.

2. Решим второе неравенство $f(5) < 0$:
$f(5) = 2 \cdot (5)^2 - (3a + 5) \cdot 5 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$2 \cdot 25 - 15a - 25 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$50 - 15a - 25 + a^2 + 2a - 3 < 0$
Приводим подобные члены:
$a^2 - 13a + 22 < 0$
Для решения найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 13a + 22 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 11$.
Неравенство можно записать в виде $(a - 2)(a - 11) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $a \in (2; 11)$.

3. Найдем общее решение системы.
Искомые значения параметра $a$ должны удовлетворять обоим неравенствам одновременно. Для этого найдем пересечение полученных интервалов:
$a \in (0; 7) \cap (2; 11)$
Пересечением этих интервалов является интервал $(2; 7)$.

Ответ: $a \in (2; 7)$.

62. Функция задана формулой $g(x) = 2x - \frac{1}{3}x^2$. Найдите:

1) $g(-1)$;

2) $g\left(\frac{1}{2}\right)$.

Для нахождения значений функции $g(x) = 2x - \frac{1}{3}x^2$ необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в ее формулу и выполнить вычисления, соблюдая порядок действий.

1) g(-1);

Подставляем значение $x = -1$ в формулу функции:
$g(-1) = 2 \cdot (-1) - \frac{1}{3} \cdot (-1)^2$
Сначала выполняем возведение в степень: $(-1)^2 = 1$.
Затем выполняем умножение: $2 \cdot (-1) = -2$ и $\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.
И в конце выполняем вычитание:
$g(-1) = -2 - \frac{1}{3} = -2\frac{1}{3}$.

Ответ: $-2\frac{1}{3}$

2) g(1/2).

Подставляем значение $x = \frac{1}{2}$ в формулу функции:
$g(\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})^2$
Выполняем действия в правильном порядке:
$g(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{12}$
Приводим к общему знаменателю и вычисляем разность:
$1 - \frac{1}{12} = \frac{12}{12} - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$

63. Даны функции $h(x) = 2x - \frac{6}{x}$ и $g(x) = 4x - 3$. Сравните:

1) $h(-1)$ и $g(0)$;

2) $h(2)$ и $g\left(-\frac{1}{2}\right)$;

3) $h(3)$ и $g(2)$.

Для сравнения значений функций в указанных точках, необходимо сначала вычислить эти значения, подставив соответствующие аргументы в формулы функций $h(x) = 2x - \frac{6}{x}$ и $g(x) = 4x - 3$.

1) h(-1) и g(0);
Найдем значение функции $h(x)$ при $x = -1$:
$h(-1) = 2 \cdot (-1) - \frac{6}{-1} = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$.
Найдем значение функции $g(x)$ при $x = 0$:
$g(0) = 4 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.
Теперь сравним полученные значения: $h(-1) = 4$ и $g(0) = -3$.
Так как $4 > -3$, то $h(-1) > g(0)$.
Ответ: $h(-1) > g(0)$.

2) h(2) и g(-1/2);
Найдем значение функции $h(x)$ при $x = 2$:
$h(2) = 2 \cdot 2 - \frac{6}{2} = 4 - 3 = 1$.
Найдем значение функции $g(x)$ при $x = -\frac{1}{2}$:
$g\left(-\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = -2 - 3 = -5$.
Сравним полученные значения: $h(2) = 1$ и $g(-\frac{1}{2}) = -5$.
Так как $1 > -5$, то $h(2) > g(-\frac{1}{2})$.
Ответ: $h(2) > g(-\frac{1}{2})$.

3) h(3) и g(2).
Найдем значение функции $h(x)$ при $x = 3$:
$h(3) = 2 \cdot 3 - \frac{6}{3} = 6 - 2 = 4$.
Найдем значение функции $g(x)$ при $x = 2$:
$g(2) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$.
Сравним полученные значения: $h(3) = 4$ и $g(2) = 5$.
Так как $4 < 5$, то $h(3) < g(2)$.
Ответ: $h(3) < g(2)$.